2000, année des mathématiques. 2000, année des bilans. Au croisement de ces deux conjonctures, une question s'impose : quels bouleversements le XX^e siècle a-t-il provoqué dans nos idées sur l'histoire des mathématiques ? Ils sont radicaux en ce qui concerne la formation des mathématiques de l'époque moderne. Pourtant, les vieux schémas résistent. C'est une invitation à se demander comment ces anciennes représentations du passé des mathématiques se sont mises en place et propagées, quels milieux les ont produites ou reproduites. Ces questions constituent désormais l'un des chantiers des historiens du XXI^e siècle.

Nous avons hérité du XIXe siècle une vision de l'histoire des mathématiques qui peut s'énoncer en quelques formules qui ont fait fortune : "Miracle grec", "Moyen Age", "Renaissance", "Époque moderne". Dans chacun de ces cas, la formule renvoie à une conception d'une époque qui déborde largement les simples mathématiques. Cependant, les mathématiques ont joué un rôle dans la formation de telles représentations de ces diverses périodes du passé : qui niera, par exemple, l'importance des Éléments de géométrie d'Euclide aux yeux de ceux qui souscrivirent à l'idée d'un "miracle grec" ? Selon cette vision, puissamment promue par le XIXe siècle, l'histoire des mathématiques se déroulait essentiellement en Occident. L'Inde et la Chine étaient censées n'y avoir contribué que de manière marginale et s'être cantonnées à la pratique du calcul sans pouvoir s'élever au niveau de la théorie. De même, le monde arabe était supposé n'avoir fait que transmettre, en le tronquant et en le déformant, l'héritage grec, sans guère y apporter d'ajout fondamental. Autant d'idées que le XXe siècle a radicalement contredites.

Figure prélevée dans le plus ancien imprimé mathématique à avoir survécu, réalisé en 1213. Elle accompagne l'algorithme sous la forme duquel se présente le théorème de Pythagore en Chine ancienne.

  Faisant écho aux changements dans le monde autour d'eux, les historiens ont en effet défriché, au cours du siècle dernier, des territoires qui appellent à repenser ces cadres. Les premières traductions, à partir de la fin du XIX^e siècle, des documents mathématiques égyptiens retrouvés ont permis de poser la question de l'influence concrète - explicitement mentionnée par des auteurs comme Platon -, des développements égyptiens sur les mathématiques de l'Antiquité grecque. Le XX^e siècle a, de plus, assisté à la reconstitution des mathématiques et de l'astronomie babyloniennes grâce au déchiffrement de tablettes vieilles de près de 4 000 ans, exhumées par les archéologues. Deux grandes sources potentielles de la science grecque ressortaient ainsi du néant, et les conséquences de leur mise au jour sur notre compréhension de l'Antiquité demeurent un des grands chantiers de l'histoire des mathématiques à venir. C'est au XX^e siècle encore, en grande partie sous l'impulsion de Joseph Needham (Cambridge), que l'Occident prend vraiment connaissance des mathématiques, et plus largement des sciences et des techniques, que la Chine avaient développées par le passé. Enfin, toujours au XX^e siècle, des continents entiers de la mathématique produite en arabe au Moyen Age sont ressortis du fin fond des bibliothèques, et Roshdi Rashed* a beaucoup œuvré pour les porter à la connaissance des chercheurs contemporains.

  Sans qu'il soit nécessaire de poursuivre l'énumération de la masse de matériaux et de faits nouveaux que les historiens ont dégagés au cours du siècle dernier, on comprend combien les conceptions du passé des mathématiques héritées du XIX^e siècle s'en trouvent mises à mal. Comment peut-on encore parler de Renaissance en mathématiques, quand l'Europe ne faisait que marcher sur les traces des savants arabes du Moyen Age ? Et comment parler de Moyen Age obscur quand les mêmes mathématiciens arabes s'avèrent avoir à l'époque ouvert des chantiers qu'on croyait caractéristiques de l'Europe moderne ? Pourtant ces idées perdurent, indice de ce qu'elles jouent un rôle dans le monde d'aujourd'hui. Éclairer par une analyse socio-politique la solidarité entre des représentations du passé et des enjeux contemporains,… cette tâche qui incombe aux historiens est essentielle pour nos sociétés.

  Quelle représentation autre pourrait servir de cadre aux recherches du XXI^e siècle sur les mathématiques du passé ?

  Une première constatation s'impose : les différentes sociétés anciennes qu'il nous est donné d'observer ont élaboré diverses manières de " faire des mathématiques ", des conceptions du réel mathématique distinctes. C'est d'ailleurs une invitation à constater la variété des pratiques mathématiques qui ont cours dans nos sociétés elles-mêmes.

  Second point : dans des textes, produits par ces diverses traditions, où une lecture mathématique reconnaîtrait le même concept d'aujourd'hui (par exemple, une équation), une analyse historique plus fine distingue des objets différents. Voilà un matériau intéressant pour penser à la nature des êtres mathématiques. Un matériau que seule une analyse conceptuelle informée peut élaborer, là où la lecture rétrospective du mathématicien, écrasant les différences, masque la variété culturelle des mathématiques. La perte en serait double : on manquerait à voir comment des pratiques différentes des mathématiques se sont imprimées dans les concepts et les résultats qu'elles produisent. Mais, et surtout, voyant partout le même, on se priverait des moyens de restituer l'apport de milieux variés à l'histoire des mathématiques.

  Troisième point : ce n'est pas seulement pour contempler la diversité concrète de formes qu'un objet mathématique a pu revêtir par le passé que cette distinction doit se faire. L'identification de ces différentes formes est nécessaire pour écrire l'histoire de la constitution du savoir mathématique contemporain : dans le cas des équations, évoqué plus haut, c'est par une suite de synthèses survenues entre des concepts distincts élaborés dans des sources babyloniennes, grecques, chinoises, arabes, que l'objet équation, tel qu'on le connaît, fut produit. Deux conclusions s'ensuivent. Tout d'abord, certains objets fondamentaux des mathématiques d'aujourd'hui ont été constitués par l'articulation de concepts différents de ce qui fut par la suite construit comme même. Ensuite, ce n'est qu'en ayant séparé les divers ingrédients et en ayant restitué la multiplicité de leurs origines, que l'on peut appréhender la dynamique réelle des savoirs.

  Nos sources appellent donc à renoncer à une conception linéaire, simplement cumulative, purement occidentale, du passé des sciences, au profit d'une représentation autre : une représentation qui donnerait toute leur place aux pratiques, aux productions mathématiques des sociétés et des milieux les plus divers, une représentation qui mettrait en valeur comment objets et résultats modernes sont tissés d'ingrédients venant d'un peu partout de la planète. Élaborer de telles conceptions du passé qui montrent comment s'articulèrent les apports des diverses communautés dans la formation de nos savoirs, ce n'est pas seulement rendre justice à ce que nous apprennent les sources mises au jour au XX^e siècle. Ce n'est pas seulement se mettre en position de réfléchir aux processus qui ont présidé à la constitution du savoir moderne. C'est également élaborer une histoire des mathématiques appropriée pour le monde contemporain.



Références :

• CNRS-Info, n° 371, 02/99, pp 9-10. Algorithmes et démonstrations en Chine ancienne.
  
• K. Chemla. De la synthèse comme moment dans l'histoire des mathématiques. Diogène, 160, 1992, p. 97-114.
  
• K. Chemla. Algebraic Equations East and West until the Middle Ages. In : K. Hashimoto et al. (éds), East Asian Science : Tradition and Beyond, Kansai University Press, Osaka, 1995, pp. 83-89.
  
• Otto Neugebauer. The Exact Sciences in Antiquity. Seconde édition, Brown University Press, 1957, republiée à New York, par Dover Publications, 1969. Traduction française (P. Souffrin) : Les sciences exactes dans l'Antiquité, Arles, Actes Sud, 1990.
  
• Joseph Needham. Science and Civilisation in China. Cambridge University Press, 7 volumes, 1954.
  
• Roshdi Rashed. Sharaf al-Din al-Tusi : Œuvres mathématiques. Algèbre et géométrie au XII^e siècle. 2 tomes, Paris, Les Belles Lettres, 1986.