Le théorème de Fermat
 
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"Il n'est pas possible de décomposer un cube en somme de deux cubes, une puissance quatrième en somme de deux puissances quatrièmes et généralement aucune puissance d'exposant supérieur à 2 en deux puissances de même exposant". Cette courte annotation d'un mathématicien français, magistrat de son état, Pierre de Fermat, écrite en marge d'un livre de mathématiques dans la première moitié du XVIIe siècle, est devenue l'un des théorèmes les plus célèbres des mathématiques : une preuve n'en fut apporté qu'en 1995, par Andrew Wiles de l'Université de Princeton.

  Pierre de Fermat (1601-1665), conseiller au parlement de Toulouse, fut l'un des mathématiciens les plus importants du XVIIe siècle ; en même temps que René Descartes, il eut l'idée de la géométrie analytique, c'est-à-dire de la transcription algébrique des problèmes de géométrie, pour étudier les tangentes à une courbe par exemple. En collaboration avec Blaise Pascal, il inventa le calcul des probabilités. Et avec Marin Mersenne ou Bernard Frenicle de Bessy, il s'intéressa aux problèmes sur les nombres entiers. À cette époque, les deux grandes branches des mathématiques théoriques étaient la géométrie et l'arithmétique, qui géraient l'une les grandeurs continues, l'autre les grandeurs discrètes. L'algèbre était connue (elle fut développée dans les pays islamiques dès la période médiévale), mais elle ne paraissait pas nécessairement bien adaptée pour traiter des problèmes sur les entiers : la solution d'une équation à coefficients entiers n'est pas nécessairement entière.

  Pendant les trois siècles et demi qui séparent l'énoncé de sa preuve, le théorème de Fermat a été retranscrit, réinterprété, partiellement prouvé, en utilisant des méthodes et des langages issus de branches variées des mathématiques. À commencer par l'utilisation de simples notations algébriques, absentes de l'original. Le problème de Fermat a maintes fois été réécrit et sa forme plus connue* est : “ Soit n, un entier au moins égal à trois. Il n'existe pas de nombres entiers non tous nuls (ni même d'ailleurs de rationnels) vérifiant l'équation xn + yn = zn ”.

  La démonstration de Wiles repose sur une réinterprétation géométrique (suggérée par Yves Hellegouarch dès les années 70) reliant l'équation de Fermat à celle de la courbe :
B2 = A (A - xn) (A + yn). Chaque solution éventuelle de l'équation définit donc les coefficients d'une courbe particulière, courbe elliptique.

  Au milieu des années 1980, il fut montré que si le théorème de Fermat était faux, c'est-à-dire s'il existait une courbe elliptique avec les coefficients comme ci-dessus, elle contredirait une conjecture très importante, dite de Shimura-Taniyama-Weil (STW). Cette conjecture établit une correspondance entre les courbes elliptiques et des fonctions dites " modulaires " ; ces dernières ressemblent un peu aux fonctions cosinus et sinus, en particulier elles vérifient certaines propriétés de périodicité.

  C'est cette conjoncture que Wiles est parvenu à démontrer, à quelques restrictions techniques près, prouvant du même coup le théorème de Fermat.

  Il est bien sûr possible que d'autres démonstrations, plus simples peut-être, du théorème de Fermat, soient trouvées dans les prochaines années. Quoi qu'il en soit, la fin de la saga Fermat n'est pas la fin de la théorie des nombres : outre les approches évoquées au cours de ce récit, et dont l'étude se poursuit activement, bien d'autres problèmes, théoriques ou plus appliqués, restent à résoudre.

* On remarque que pour n=2, il y a au contraire une infinité de solutions, par exemple 52 = 32 + 42 ou 132 = 52 + 122, ou encore 292 = 192 + 202.