Les nombres premiers* semblent se présenter en grand désordre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Pourtant, des propriétés énoncées au XIX^e siècle montrent un comportement non " anarchique ". Le théorème de raréfaction des nombres premiers de Jacques Hadamard et Jean de la Vallée Poussin nous enseigne par exemple que le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est approximativement n/ln n (où ln n désigne le logarithme népérien de n). C'est là une indication que les nombres premiers n'arrivent pas dans un chaos absolu mais au contraire, avec une certaine régularité.

  Les nombres premiers suivent des lois que les mathématiciens essaient d'identifier. La preuve que de telles lois existent est qu'on peut mettre les nombres premiers en formules. Bien sûr, aucune formule très simple ne convient et on montre par exemple qu'aucune fonction polynôme (voir encadré) ne donne que des nombres premiers sauf dans le cas trivial où la formule est constante. En 1947, W. Mills étonne la communauté mathématique en établissant l'existence d'une constante A qui, insérée dans une formule (voir encadré), donne un nombre premier pour tout n supérieur ou égal à 1. L'utilité de cette formule est cependant illusoire, car on ne peut calculer la constante A qu'à la condition de connaître déjà les nombres premiers. Une autre formule éclaire ce phénomène qui donne le n^ième nombre premier pour tout n supérieur ou égal à 1 (voir encadré). La recherche de formules donnant les nombres premiers doit donc se limiter à celles qui ne font pas intervenir de constantes réelles.

  Les mathématiciens Minác et Willans ont imaginé une formule plus remarquable encore dont l'explication est moins simple, mais qui, cette fois, donne tous les nombres premiers dans l'ordre et sans répétition. Cette formule ne comporte que 52 symboles ! On ignorait qu'une telle formule pouvait exister avant sa publication en 1995. Mais est-elle vraiment utile ? Non, car la mise en œuvre de telles formules se révèle très coûteuse en temps de calcul et aucun programme d'ordinateur aujourd'hui n'utilise ces formules qui, en définitive, apparaissent comme des jeux d'adresse mathématique. Le véritable problème est de définir des algorithmes de calculs (en langage mathématico-informatique) qui donneront rapidement des nombres premiers. De tels programmes sont applicables à la cryptographie par exemple.

  De nombreux progrès ont été réalisés ces dernières années dans la manipulation et la connaissance des nombres premiers : les algorithmes probabilistes de test de la primalité identifient des nombres premiers de 100 000 chiffres en quelques fractions de seconde. Les algorithmes de factorisation deviennent chaque année de plus en plus puissants. Toutefois, on ne connaît encore aucune méthode permettant d'engendrer rapidement un nombre premier de longueur n. On le voit, les travaux sur les nombres premiers et leurs relations avec l'informatique sont nombreux et loin d'avoir été tous explorés. De nombreuses questions restent à résoudre. La recherche fondamentale rejoint les applications pour construire une science des réseaux informatiques et des communications de demain dont la sécurité est dès aujourd'hui intimement liée aux nombres premiers (cryptographie, codes correcteurs d'erreurs, algorithmique distribuée, etc.).


Références :

• Jean-Paul Delahaye. Merveilleux nombres premiers. Voyage au cœur de l'arithmétique.
  Éditions Belin/Pour la science, Paris, 2000, (Bibliothèque scientifique) 336 p. - 155 F.
  
• Jean-Paul Delahaye. Jeux mathématiques et mathématiques des jeux.
  Éditions Pour la science, Paris, 1998, (Bibliothèque Pour la science) 141 p. - 95 F.

* Nombres qui ne sont divisibles que par le nombre 1 et par eux-mêmes.