Algorithmes et démonstrations en Chine ancienne

février 1999

 
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Etudiant les tout premiers documents mathématiques chinois, Karine Chemla, chercheur au laboratoire « Recherches en épistémologie et en histoire des sciences et des institutions scientifiques », REHSEIS, (CNRS-Université Paris 7, Paris), est parvenue à des conclusions qui bousculent certaines idées reçues sur l’histoire des mathématiques. Cette mathématicienne et sinologue travaille depuis 1984, en collaboration avec un chercheur de l’Académie des sciences de Pékin, Guo Shuchun, à l’édition critique et à la traduction en français d’un ouvrage considéré en Chine ancienne comme un « classique » : « Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques » (dont l’auteur ou les auteurs sont inconnus). Il s’est avéré que les textes de cet ouvrage comprenaient déjà des descriptions de procédures mathématiques comparables aux mises en forme d’algorithmes actuellement utilisées en informatique. On y trouve également des nombres irrationnels du type des racines de nombres entiers alors que l’on pensait que seuls les mathématiciens grecs de l’Antiquité avaient affronté ce type d’objets. De plus, les commentaires chinois des « Neuf chapitres », dont le plus ancien remonte au 3e siècle, contiennent des démonstrations : cette découverte contredit l’idée répandue selon laquelle la source historique de la démonstration mathématique se trouverait uniquement dans les textes grecs antiques. Autant de faits qui invitent à reconsidérer, et de manière plus internationale, la façon dont nous concevons l’émergence de nos connaissances et de nos pratiques mathématiques.

Des recherches, menées ces dernières années, sur les premiers documents mathématiques chinois parvenus jusqu’à nous sont venues bousculer certaines idées reçues sur l’histoire des mathématiques. Karine Chemla, du laboratoire « Recherches en épistémologie et en histoire des sciences et des institutions scientifiques, REHSEIS » (CNRS-Université Paris 7, Paris), était invitée à les présenter au dernier Congrès international des Mathématiciens, qui s’est tenu à Berlin en août 1998. Depuis 1984, ce chercheur travaille, en collaboration avec un chercheur de l’Académie des sciences de Pékin, Guo Shuchun, sur « Les neuf chapitres sur les procédures mathématiques », un ouvrage du premier siècle avant ou après notre ère, qui s’est vu accorder, en Chine ancienne, le statut de « classique ». L’édition critique et la traduction en français qu’ils préparent de cet ouvrage, ainsi que des commentaires qui en ont été composés en Chine dès les premiers siècles de notre ère, sont en voie d’achèvement.
Contrairement aux textes grecs de l’Antiquité comme les « Eléments de géométrie » d’Euclide, ces « Neuf chapitres » se concentrent pour l’essentiel sur les algorithmes, ces procédures de calcul que le développement de l’utilisation des ordinateurs a remises au centre de l’intérêt des mathématiciens aujourd’hui. Cette évolution des mathématiques contemporaines a provoqué un nouveau regard sur leur histoire. Karine Chemla a mis en évidence la sophistication des algorithmes du classique chinois, dont la description recourt déjà aux opérations fondamentales de l’écriture des algorithmes d’aujourd’hui (itération, conditionnelles, assignation de variables). Par ailleurs, les progrès sur l’interprétation des termes mathématiques chinois anciens ont permis d’améliorer la compréhension qu’ont les historiens des « Neuf chapitres », et ils ont, par exemple, ainsi pu déterminer que l’ouvrage introduisait des nombres irrationnels du type des racines de nombres entiers.

De plus, les commentaires chinois des « Neuf chapitres », dont le plus ancien, dû à Liu Hui, remonte au 3e siècle, contiennent des démonstrations. Voilà qui contredit l’idée classique selon laquelle les textes grecs antiques représentent l’unique source historique de la démonstration mathématique. Car, préoccupés comme ils le sont à démontrer que les algorithmes du classique sont corrects, ces commentaires attestent de pratiques de la démonstration différentes de celles dont les écrits grecs préservés témoignent. Karine Chemla montre en particulier que Liu Hui pratique une forme de démonstration algébrique. L’histoire désormais à repenser de la démonstration mathématique, certainement internationale de par les sources qu’elle aura à prendre en compte, devra renoncer à l’idée, encore admise, que cette préoccupation fut essentiellement occidentale.

Mais l’étude de ces documents chinois anciens invite également à se poser des questions sur la manière dont se pratiquent les mathématiques, questions dont l’intérêt déborde la simple histoire des mathématiques en Chine. Le chercheur du CNRS s’est tout particulièrement intéressée aux techniques littéraires auxquelles les auteurs des « Neuf chapitres » ont recouru. Les textes chinois anciens abondent en énoncés dits « parallèles » : placés l’un à la suite de l’autre, ils se correspondent caractère à caractère, et les situations qu’ils décrivent se trouvent de ce fait mises en relation. Deux vers tirés d’un poème de Wang Wei (8e siècle) peuvent constituer un exemple de ces énoncés parallèles : « La lune claire brille parmi les pins, la source limpide coule sur les rocs ». Or les textes mathématiques anciens ne font pas exception à la règle : les mathématiciens ont utilisé eux aussi ce mode de rédaction courant. Cependant, la signification véhiculée par les énoncés parallèles est, en leur cas, mathématique : mettre en relation, non pas les effets des flots de lumière ou d’eau sur des paysages où le lecteur est convié à explorer la comparaison entre les pins et les rocs, mais des situations mathématiques, invite de la même manière le lecteur à élaborer plus avant la relation entre elles. L’historien est donc contraint de lire ce que le mathématicien donne à lire de la sorte, c’est-à-dire le sens mathématique des énoncés parallèles, s’il veut saisir le sens du document plus pleinement. Cet exemple, loin d’être unique, est extrêmement révélateur. Il montre que le mathématicien, loin de travailler dans une tour d’ivoire, s’inscrit pleinement dans la société à laquelle il appartient et met à profit, pour son travail, des ressources qu’il trouve dans les cultures au contact desquelles il se trouve. A partir de tels faits, plusieurs pistes de recherche s’ouvrent.

Tout d’abord, les documents mathématiques offrent un observatoire de choix pour l’étude de l’usage des énoncés parallèles en Chine ancienne car les significations que peut prendre le parallélisme s’y trouvent mieux circonscrites : nous maîtrisons mieux les significations que peuvent prendre des descriptions en parallèle d’extractions de racines carrée et cubique que nous n’avons de prise sur l’infinité des associations que les deux vers précédents peuvent éveiller chez le lecteur chinois du 8e siècle. D’où l’idée d’utiliser les textes mathématiques pour l’étude depratiques culturelles qu’ils mettraient en œuvre.

Par ailleurs, il apparaît que des communautés mathématiques en des lieux et des temps distincts ont créé des environnements de travail différents pour pratiquer les mathématiques. Les décrire permet de cerner différentes manières dont des groupes humains ont abordé les mathématiques et comment cela a pu interagir avec les questions qu’ils se sont posées, les résultats mathématiques qu’ils ont obtenus, les concepts qu’ils ont élaborés.

Cependant, si les recherches mathématiques se mènent toujours, de la sorte, dans des environnements qui présentent leurs spécificités, cela n’empêche en rien les concepts et les résultats de circuler et d’être repris par d’autres groupes. Les résultats mathématiques que contiennent « Les neuf chapitres » le montrent : si certains témoignent d’une adhérence à la tradition mathématique qui les a engendrés, les échanges mathématiques avec l’Inde ou le Monde arabe leur ont permis de se fondre dans un savoir mathématique aujourd’hui international.

 
 

Référence     

 

Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berlin 1998, Documenta Mathematica, vol 3, « History of Mathematics in China : a factor in world history and a source for new questions », p 789-798