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Double réfraction d’un faisceau lumineux traversant un prisme dans sa section principale |
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Rayon lumineux arrivant sur une goutte d’eau |
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Film de savon coloré |
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Les lois de Snell-Descartes1 associées à la dépendance de l’indice optique avec la longueur d’onde2, montrent que l’angle de réfraction à l'interface entre deux milieux sera différent pour deux longueurs d’onde distinctes et que ces ondes seront angulairement séparées. Le calcul de la répartition des différentes couleurs dans l’espace relève alors des lois de l’optique géométrique.
Le prisme
Lorsqu’un rayon lumineux est réfracté dans un prisme, la déviation D, c’est à dire l’angle du rayon émergent avec le rayon incident, dépend à la fois des conditions géométriques (angle du prisme A, angle d’incidence i) et de l’indice n du matériau.
La déviation D suit donc les lois de décomposition de la lumière évoquées juste au-dessus. Ce phénomène de séparation angulaire des couleurs est parfois appelé iridescence, plus particulièrement lorsqu'il décrit le changement de couleur d'un objet lorsque l'on modifie l'angle d'observation (mais aussi, pour un angle d'observation fixe, lorsque l'on fait varier l'angle d'incidence de l'éclairage). On verra plus loin que d'autres systèmes physiques peuvent produire ce type d'effet et que le cas du prisme est très peu répandu dans la nature et dans l'art.
L’arc-en-ciel
Autre phénomène coloré bien connu, et des plus spectaculaires, l’arc-en-ciel trouve lui aussi son origine dans un processus de réfraction des ondes lumineuses dans un milieu non absorbant, l’eau, fondamentalement identique à celui produisant les couleurs prismatiques que nous venons de voir. Il en diffère formellement sur deux points : 1) Le phénomène s’observe en réflexion et non en transmission. 2) L’objet réfractant, la goutte d’eau, est sensiblement sphérique, avec la conséquence que deux rayons lumineux distincts ne tombent généralement pas selon la même incidence sur le dioptre d’entrée. Ces deux points compliquent passablement les calculs de déviation des faisceaux.
Si on considère un rayon arrivant horizontalement sur une goutte d’eau, son angle d’incidence varie de π/2 (90°) aux pôles à 0 sur l’équateur. Pour un observateur au sol, seuls les rayons émergents dans l’hémisphère inférieur seront visibles, les autres étant réfléchis vers le ciel3.
La déviation est nulle pour un rayon arrivant horizontalement
sur l’équateur et passe par un maximum DM
pour un angle d’incidence iM
qui dépend de l’indice de l’eau pour la
longueur d’onde en question. Pour un rayon rouge (n
= 1.334), la déviation est de 42.2° alors qu’à
l’autre extrémité du spectre, dans le
violet (n= 1.343) elle n'est n’est plus que de 40.2°.
En deçà de 40.2°, l’ensemble des couleurs
se trouve superposé en quantité égale
et l’intérieur de l’arc nous apparaît
alors blanc. L’ensemble du spectre coloré n’apparaît
donc que sur un angle de 2° environ et la pureté
des couleurs se dégrade vers l’intérieur
de l’arc, seul le rouge étant pur.
Pour aborder les autres phénomènes colorés d’origine physique que l’on rencontre également en abondance dans la nature, il faut changer d’échelle, et par conséquent de théorie. Dans les structures macroscopiques que nous venons d’évoquer, la taille caractéristique des objets est au moins le millimètre, c’est-à-dire très supérieure à la longueur d’onde de la lumière visible, et l’optique géométrique est parfaitement adaptée au traitement de ce type de problème. Dans des structures beaucoup plus petites, de taille comparable ou inférieure à la longueur d’onde, on entre dans le domaine de l’optique ondulatoire qui est traité ici dans la section consacrée aux cristaux photoniques.
Jacques Lafait et Serge Berthier
Institut des NanoSciences de Paris
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Notes de l'auteur :
1 L'une
des lois de Snell-Descartes : n1sini1 = n2sini2
exprime qu'à l'interface séparant un milieu d'indice optique
n1 et un milieu d'indice optique n2, un rayon lumineux
va subir une réfraction, c'est à dire un changement de sa
direction de propagation; ici passage de l'angle i1 d'incidence
sur l'interface, dans le premier milieu, à l'angle i2
dans le second milieu, et que ces angles sont en rapport avec l'indice
de chacun des milieux. Si, de plus, l'indice n2 varie avec
la longueur d'onde (phénomène dit de dispersion), alors,
l'angle de réfraction changera lui aussi avec la longueur d'onde.
2 Pour
les matériaux intrinsèquement transparents couramment utilisés
en optique, il existe de nombreuses formules empiriques permettant de
calculer la dispersion de l’indice n. L'une des plus courantes est
la formule de Cauchy : n2(λ) = A0 +
A1λ-2 + A2λ-4 +...
Pour un matériau comme le verre, les constantes A1 et
A2 sont positives. La formule précédente nous
montre alors que l’indice diminue continûment quand la longueur
d’onde augmente, c’est-à-dire lorsque l’on va
du violet au rouge : l’extrémité rouge du spectre
correspond à la plus faible déviation, l’extrémité
violette à la plus grande.
3 L’angle
de déviation D du faisceau peut être calculé
en appliquant les lois de Snell-Descartes successivement au point d’entrée
A (réfraction), au point de réflexion sur le fond de la
goutte (B) puis au point d’émergence (C), on obtient : D=4r–2i.
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