Henri Poincaré

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La théorie théorie qualitative des équations différentielles

Une équation différentielle est une équation entre une fonction et ses dérivées. Elles apparaissent à partir du 18e siècle en même temps que le calcul différentiel, souvent dans le cadre de problèmes de géométrie, de mécanique ou de physique mathématique. Au début, les mathématiciens s’attachaient à résoudre ces équations, c’est-à-dire à développer des méthodes pour déterminer des solutions qui apparaissent la plupart du temps sous la forme de séries entières, de séries trigonométriques ou de fonctions spéciales. Dans un second temps, comme très peu d’équations différentielles sont résolubles explicitement, les mathématiciens se sont intéressés d’une part à l’existence de solutions (par exemple, le théorème d’existence de solution d’une équation différentielle de Cauchy) et d’autre part aux propriétés de ces solutions. Un résultat concernant les propriétés des solutions d’une équation différentielle est dit "qualitatif". Le mathématicien Charles François Sturm (1803-1855) est l’un des premiers à exprimer clairement ce point de vue : "S'il importe de pouvoir déterminer la valeur de la fonction inconnue pour une valeur isolée quelconque de la variable dont elle dépend, il n'est pas moins nécessaire de discuter la marche de cette fonction, ou en d'autres termes, d'examiner la forme et les sinuosités de la courbe dont cette fonction serait l'ordonnée variable, en prenant pour abscisse la variable indépendante. Or on peut arriver à ce but par la seule considération des équations différentielles en elles-mêmes, sans qu'on ait besoin de leur intégration."
Sturm étudie la dépendance de certains aspects qualitatifs du comportement des solutions par rapport aux coefficients de l'équation et aux conditions à l'origine. Par exemple, si l’on désigne respectivement par y₁ et y₂ deux solutions des équations différentielles y" + g₁y = 0 et y" + g₂y = 0 sur un intervalle, Sturm montre que si g₂ >= g₁ et si y₁(a) >= y₂(a), alors y₁ >= y₂ sur tout l’intervalle. Ce théorème et d’autres trouvent en géométrie d’importantes applications.
Dans ses premiers travaux mathématiques, Henri Poincaré reprend le flambeau de la théorie qualitative des solutions des équations différentielles. Après avoir justifié ce type d’études par le peu de cas directement résolubles, il conclut à la nécessité "d’étudier les fonctions définies par équations différentielles en elles-mêmes et sans chercher à les ramener à des fonctions plus simples". Poincaré distingue une étude qualitative, à savoir l’étude géométrique des courbes définies par les fonctions-solutions et une étude quantitative (les courbes intégrales) qui consiste à calculer numériquement certaines valeurs de ces fonctions. Dès son premier article, Poincaré souligne parmi les intérêts de cette approche les applications en mécanique céleste.
En général, il ne passe par un point qu’une seule courbe intégrale. On obtient une description globale de l’ensemble de ces courbes en étudiant les points singuliers, c’est-à-dire les points où passent ou tendent plusieurs solutions.
Si l’on étudie le cas particulier simple exprimé en langage moderne,

où la matrice A est de déterminant non nul. L’origine est évidemment un point d’équilibre et il est intéressant d’étudier le comportement des courbes intégrales autour de l’origine. Si la matrice A admet deux valeurs propres réelles distinctes μ₁ et μ₂ de même signe, les courbes solutions convergent vers (ou divergent à partir de) l’origine ; on dit que l’on a un nœud.
Si les deux racines ont des signes différents, seules deux droites passent par l’origine et les autres solutions sont asymptotes à ces deux droites. On dit que l’on a un col. Si A admet deux valeurs propres imaginaires pures conjuguées, les courbes intégrales sont des ellipses homothétiques dont le centre est l’origine. On dit que l’on a un centre. Si A admet deux valeurs propres complexes conjuguées non-imaginaires pures, les courbes intégrales s’enroulent autour de l’origine à la manière d’une spirale. On dit que l’on a un foyer.
Ces résultats donnent des indications sur le comportement local des courbes intégrales autour des points singuliers. Poincaré obtient en même temps des informations sur le comportement global des courbes intégrales en montrant que
N + F = C + 2
où N est le nombre de nœuds, F celui de foyers et C celui de cols (ou centres).