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L’universalité de la distribution de Tracy-Widom proviendrait d’une transition de phase

27 janvier 2015

LPTMS - UMR 8626

Des physiciens ont récemment proposé un mécanisme expliquant l’émergence de la distribution de Tracy-Widom dans une multitude de problèmes physiques et mathématiques. Ils ont montré que cette distribution est associée au comportement critique de systèmes de particules en interaction, au voisinage d’une transition de phase du troisième ordre. L’universalité de cette distribution découlerait donc de l’universalité attendue du comportement critique de systèmes physiques.

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Dans les grands systèmes, le hasard n’est pas totalement aléatoire. Plus le nombre d’aléas contribuant à l’événement final est grand, plus la loi de probabilités qui décrit cet événement s’approche de lois appelées lois limites. La plus connue est la distribution gaussienne, qui apparait dès que l’on somme un grand nombre de variables aléatoires de variance finie, mais ce n’est pas la seule. Durant les vingt dernières années, de nombreux résultats mathématiques ont concerné une autre loi universelle, la loi de Tracy-Widom qui apparait dans des systèmes aussi divers que les permutations aléatoires de nombres entiers, la surface d’une culture de bactéries, la physique des particules ou encore la finance. Malgré tous ces travaux, l’origine de l’universalité de cette loi restait une énigme. En analysant un système de particules en interaction logarithmique à une dimension, deux physiciens théoriciens du Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques - LPTMS (CNRS/Univ. Paris-Sud), viennent de montrer que pour ce système, l’apparition de la loi de Tracy-Widom est associée à un comportement critique lors d’une transition de phase. Or l’une des propriétés essentielles des comportements critiques est de gommer les détails particuliers et d’être universels. Ce résultat renforce donc très fortement la conjecture selon laquelle de manière générale, la loi de Tracy-Widom serait associée aux fluctuations critiques de certaines catégories de transition de phase. Ce travail est publié dans le Journal of Statistical Mechanics : Theory and Experiment.

Mathématiquement, on peut obtenir la distribution de Tracy-Widom comme distribution de probabilité de la plus grande valeur propre d’une matrice dont les coefficients sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes. Pour ce travail, les chercheurs ont montré que si l’on considère que ces valeurs propres sont les positions de particules sur une droite, la situation correspond exactement à l’étude d’un système unidimensionnel de particules en interaction logarithmique répulsive confinées par un ”piège” harmonique et en présence d’un mur, contraignant les particules à se situer à sa gauche. Lorsque l’on augmente le nombre de particules tout en changeant les paramètres d’interaction et de piégeage pour que la taille du nuage reste constante, la distribution de probabilité pour la position de la particule la plus à droite tend vers une distribution de Tracy-Widom. Placer un mur impénétrable à droite du système rend ce dernier sensible à la position de la particule la plus à droite, et ce ceci dès que cette particule est susceptible d’entrer en collision avec le mur. Elle relie ainsi les grandes déviations de la distribution de Tracy-Widom aux propriétés physiques du système. L’analyse thermodynamique réalisée par les chercheurs montre alors que lorsque la position du mur passe par la position moyenne de la particule la plus à droite, l’énergie libre du système présente une transition de phase du troisième ordre. C’est ce résultat qui associe sans ambiguïté la distribution de Tracy-Widom à un comportement critique lors d’une transition de phase et permet de conjecturer l’origine de son universalité.

En savoir plus

Top eigenvalue of a random matrix : large deviations and third order phase transition
S. N Majumdar et G. Schehr Journal of Statistical Mechanics : Theory and Experiment (2014)

  • Retrouvez la publication sur la base d’archives ouvertes HAL et arXiv

Contact chercheur

Gregory Schehr, chargé de recherche CNRS
Satya N. Majumdar, directeur de recherche CNRS

Informations complémentaires

Laboratoire de physique théorique et modèles statistiques (LPTMS)

Contacts INP

Jean-Michel Courty,
Catherine Dematteis,
Simon Jumel,
inp-communication cnrs-dir.fr