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Surfaces de Riemann et variétés de caractères « sauvages »

8 octobre 2014

On observe généralement que la plupart des fonctions de la physique sont solutions d’équations différentielles linéaires. Une idée remontant à Gauss permet d’associer à des fibrations de variétés algébriques des classes d’équations différentielles linéaires et ce procédé est purement géométrique.

Un exemple proposé par Gauss en 1800 et discuté aussi par Legendre en 1825, consiste à considérer la famille de courbes elliptiques

C_k=\{(x,y) |  y^2 = (1-x^2)(1-k^2x^2) \}

paramétrisée par un nombre complexe k. On peut alors montrer que l’intégrale de période

K(k) = \int \frac{dx}{y}

vérifie l’équation différentielle du second ordre

(1-k^2)K'' + \frac{(1-3k^2)}{k}  K' - K =0.

En général, le procédé consiste à remplacer chaque fibre par son espace de cohomologie, on obtient alors un fibré vectoriel muni d’une connexion plate, ce qui donne une équation différentielle explicite après le choix d’une section cyclique (comme on l’a fait avec le choix de la classe de la forme dx/y dans l’exemple ci-dessus). Ces équations sont appelées équations différentielles géométriques (cf. [1], chapitre 2), équations de Picard-Fuchs, ou connexions de Gauss-Manin.

Un grand nombre d’équations différentielles linéaires peuvent être retrouvées de cette manière, mais seulement lorsque ces dernières ne présentent que des singularités dites « régulières », c’est à dire dont les solutions sont à croissance polynômiale au voisinage de chaque singularité. Cependant, beaucoup de fonctions de la physique sont solutions d’équations présentant des singularités « irrégulières ». On peut penser à l’exponentielle, aux fonctions d’Airy, de Bessel ou de Whittaker, par exemple.

De plus, au cours des siècles, on s’est aperçu que de nombreux phénomènes non-linéaires se comprennent en termes de solutions d’équations différentielles algébriques non-linéaires, telles les fonctions transcendantes de Painlevé. De telles fonctions apparaissent dans la théorie des cordes ou dans l’analyse des matrices aléatoires. Ces situations de grand intérêt du point de vue de la physique échappaient donc au cadre des équations différentielles géométriques esquissé ci-dessus. Heureusement, diverses généralisations de la cohomologie ont été définies plus récemment, comme la cohomologie non abélienne, qui nous intéresse ici.

Considérons l’exemple suivant : si S est une surface de Riemann et G le groupe des matrices inversibles à coefficients complexes G =Gl_n(\bf C), alors l’ensemble de cohomologie H^1(S,G) paramétrise les connexions plates définies sur des fibrés vectoriels de rang n sur S, c’est à dire, les systèmes d’équations différentielles linéaires d’ordre n sur S ne présentant que des singularités « régulières ». Si l’on impose de plus une condition technique de stabilité, alors on se retrouve non plus avec l’ensemble H^1(S,G) mais avec une variété {\mathcal M}_{DR}(S,G), appelée espace des modules. Cette variété paramétrise les connexions plates stables. La correspondance de Riemann-Hilbert permet alors d’identifier \mathcal M}_{DR}(S ,G) à la variété de caractères

{\mathcal M}_B(S,G)={\rm Hom}^{irr} (\pi_1(S),G)/G

des représentations irréductibles du groupe fondamental de S.

On peut alors généraliser le procédé de Gauss-Manin : un fibré algébrique sur une base B (ayant pour fibres des surfaces de Riemann S_b, b\in B) engendre un fibré non linéaire dont les fibres sont les espaces {\mathcal M}_{DR}(S_b,G), et ce fibré est muni d’une connexion plate naturelle. Cette connexion est maintenant une connexion non linéaire, ou connexion d’Ehresmann, appelée la connexion d’isomonodromie ou de Gauss-Manin non-abelienne. Ces connexions « sont » des équations différentielles géométriques non linéaires. Par exemple, si n=2 et si S est la sphère moins quatre points, on se retrouve avec la sixième équation de Painlevé. En général, si S_b est une surface de genre g avec m trous, ce procédé engendre un fibré avec une connexion plate

{\mathcal M}_{DR}\rightarrow {\mathfrak{M}}_{g,m}

sur l’espace de modules de Riemann des surfaces de Riemann de genre g avec m trous. Ses propriétés globales sont gouvernées par une action algébrique du « mapping class group »

\Gamma_{g,m}=\pi_1(\mathfrak{M}_{g,m})

sur la variété de caractères {\mathcal M}_B(S,G). Comme l‘espace des phases de la mécanique classique, la variété de caractères {\mathcal M}_B(S,G) est une variété algébrique de Poisson et cette structure est préservée par le « mapping class group ».

Le travail de Boalch (cf. [2]) étend ce panorama aux espaces de modules d’équations différentielles linéaires sur des surfaces de Riemann présentant des singularités irrégulières ou « sauvages ». Il conduit à une généralisation naturelle de la notion de surface de Riemann, de variété de caractères et de « mapping class group ».

Références

[1]. Y. André, G-functions and geometry, Aspects of Mathematics, E13, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1989.

[2]. P. P. Boalch, Geometry and braiding of Stokes data ; Fission and wild character varieties, Annals of Math. 179 (2014), 301–365.

Contact : LMO - UMR 8628 | Philip Boalch | philip.boalch math.u-psud.fr