Prix Abel 2008 attribué à Jacques Tits

Le Prix Abel 2008 attribué à Jacques Tits

Jacques Tits a étudié les objets exotiques et les situations isolées en essayant de dégager des propriétés générales permettant de les comprendre mieux et de les classifier. Il a ainsi donné une construction des groupes de Lie exceptionnels à partir des octaves (ou octonions) via le "carré magique" de Freudenthal-Tits, et des constructions (et preuves d’existence) géométriques de groupes sporadiques (dont le Monstre).

Jacques Tits est né le 12 août 1930 à Uccle, dans la banlieue de Bruxelles. Il a obtenu un doctorat de mathématiques en 1950, sous la direction de Paul Libois. De 1948 à 1964 il a effectué ses recherches à l’université de Bruxelles successivement comme boursier du FNRS, assistant, chargé de cours et professeur. Il a ensuite été professeur à Bonn de 1964 à 1974, puis au Collège de France de 1974 à 2000. Il a été naturalisé français en 1974, est membre de l’académie des sciences depuis 1979, a été par trois fois conférencier invité au congrès international des mathématiciens et a reçu le prix Wolf de mathématiques en 1993.

Il a effectué de nombreux séjours de longue durée à l’étranger et a eu un rôle important dans le développement des mathématiques à Bruxelles. Pierre Deligne a été son étudiant durant ses premières années à l’université, avant que Jacques Tits ne l’envoie à Paris travailler avec Alexander Grothendieck. Ses collaborations principales sont avec Armand Borel, François Bruhat et le groupe Bourbaki.

Le domaine de recherche est la théorie des groupes, avec des points de vue à la fois algébriques et géométriques. La théorie des groupes est née des études d’Evariste Galois et Niels Henrik Abel sur les équations polynomiales. Le concept a été peu à peu défini formellement par les mathématiciens du XIXème siècle (Augustin-Louis Cauchy, Arthur Cayley) avant que Camille Jordan ne lui donne son nom définitif en 1863 et que Walther von Dyck n’en donne la définition formelle que nous connaissons en 1882.

La théorie des groupes est l’étude de la symétrie, de l’indiscernabilité et de l’homogénéité. Jacques Tits aime retrouver ces idées dans la mathématique grecque ou dans le principe d’inertie de Galilée. Elles trouvent des applications en spectroscopie moléculaire ou dans la classification des particules élémentaires par exemple.

En 1872, Felix Klein lance le programme d’Erlangen afin de fonder la géométrie sur les notions d’action de groupe et d’invariant. Le groupe définit la géométrie, donne le langage pour en décrire les objets, plusieurs groupes pouvant agir sur le même espace. Parallèlement Sophus Lie étudie les équations différentielles et, afin d’y étendre les théories de Galois, introduit des groupes de symétries continus, que l’on nommera groupes de Lie. La classification des algèbres de Lie simples complexes est achevée en 1894 par les travaux de Wilhelm Killing et Elie Cartan. C’est Killing qui a découvert les cinq algèbres de Lie dites exceptionnelles (car non issus de la géométrie classique, i.e. celle des groupes linéaire, orthogonal ou symplectique). La classification des groupes de Lie réels compacts a été achevée en 1925 par Elie Cartan et Hermann Weyl.

Il peut sembler étrange qu’après avoir travaillé si durement pour obtenir une classification, les mathématiciens aient continué de chercher des arguments ne l’utilisant pas. Le but est bien entendu de gagner en compréhension. Le rôle des groupes de Lie exceptionnels dans la construction des 26 groupes finis simples dits sporadiques (car n’appartenant pas d’une façon naturelle à une famille de groupes) ou dans la théorie des cordes fait partie des nombreux bonus inattendus.

Jacques Tits a notamment étudié les groupes à partir des propriétés de transitivité (i.e. la possibilité que des points arbitraires aient comme images par un élément du groupe d’autres points donnés à l’avance) et rencontré ainsi les groupes sporadiques de Mathieu, le problème de Helmholtz-Lie (sur la caractérisation des géométries euclidiennes et non-euclidiennes), le principe de relativité en relativité générale.

Il s’est surtout intéressé aux espaces homogènes (dont les points sont indiscernables) et aux groupes simples. Il s’agit de groupes ayant une forte rigidité et une individualité qui rend nécessaire, selon Godfrey Hardy, d’avoir chacun d’eux comme ami personnel.

La classification de Killing-Cartan reste très elliptique sur l’existence des algèbres de Lie simples exceptionnelles. La matrice de Cartan permet de déterminer les constantes de structure et d’en déduire l’unicité de l’algèbre associée à une matrice de Cartan donnée. Pour l’existence il faut a priori vérifier à partir des constantes de structure que l’identité de Jacobi est satisfaite. Jacques Tits en raffinant les travaux de Claude Chevalley a explicité un choix "naturel" de base pour l’algèbre de Lie permettant de vérifier aisément l’identité de Jacobi, parachevant en quelque sorte l’approche de Killing et Cartan, et traitant les algèbres de Lie exceptionnelles comme les algèbres de Lie classiques.

D’une façon constante, il a étudié les objets exotiques et les situations isolées en essayant de dégager des propriétés générales permettant de les comprendre mieux et de les classifier. Il a ainsi donné une construction des groupes de Lie exceptionnels à partir des octaves (ou octonions) via le "carré magique" de Freudenthal-Tits, et des constructions (et preuves d’existence) géométriques de groupes sporadiques (dont le Monstre).

Jacques Tits a fréquemment créé des terminologies suggestives, permettant de guider l’intuition géométrique : immeuble, appartement, mur, squelette. Une de ses contributions majeures est la théorie des immeubles, qui sont aux groupes algébriques ce que sont les espaces symétriques aux groupes de Lie, et la notion de (B,N) paire qui est un outil fondamental dans la théorie des groupes de type Lie. Une idée centrale est de décrire la géométrie à partir de la notion d’incidence. On lui doit les groupes de Tits, la correspondance de Tits et l’alternative de Tits (un sous-groupe de type fini d’un groupe linéaire soit admet un sous-groupe résoluble d’indice fini, soit a un sous-groupe libre de rang 2).

Cela lui a permis de donner la structure et la classification des groupes algébriques réductifs sur un corps quelconque, et plus particulièrement sur un corps local.

Son esprit est, selon ses dires, resté très géométrique. Pour lui, il n’y a pas de différence entre espace et nombre. Ses idées sont très présentes dans la recherche actuelle et son influence est majeure. Citons par exemple l’approche de Laurent Manivel et Joseph Landsberg permettant de retrouver la classification des espaces hermitiens symétriques compacts sans référence aux groupes de Lie ou encore la classification de Cartan-Killing à partir d’un algorithme effectif produisant des variétés projectives complexes. Ou encore le programme de Pierre Vogel visant à construire une algèbre de Lie universelle contenant naturellement toutes les algèbres de Lie simples.

Jacques Tits a eu quinze étudiants, dont trois en France : Jean-Yves Hée, Olivier Mathieu et Guy Rousseau. Autre élément important, il a été rédacteur en chef des publications mathématiques de l’IHES de 1980 à 1999 (et y a participé pendant vingt-cinq ans). Sa rigueur et son esprit éclairé ont fait de ces publications des modèles, et tous ses collaborateurs ou successeurs au sein des publications témoignent de son rôle central.

 Lire le communiqué de presse du ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche
 Le site officiel de la société européenne de mathématiques : http://www.emis.de/
 Lire le document de société européenne de mathématiques : http://www.5ecm.nl/prizewinnersbook.pdf
 Le site du 5ème Congrès Européen de Mathématiques : http://www.5ecm.nl/