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Lemme fondamental

28 mars 2008

Le mathématicien Bao Châu Ngô (UMR 8628, Orsay) a annoncé le 3 janvier 2008, sur arXiv, la démonstration d’une importante conjecture qui avait été énoncée par le mathématicien canadien Robert P. Langlands au printemps 1980.

Le mathématicien Bao Châu Ngô (UMR 8628, Orsay) a annoncé le 3 janvier 2008, sur arXiv, la démonstration d’une importante conjecture qui avait été énoncée par le mathématicien canadien Robert P. Langlands au printemps 1980. L’énoncé de cette conjecture fut ensuite publié sous le nom de « lemme fondamental ». En compagnie de Gérard Laumon, B. C. Ngô avait déjà résolu en 2004 la conjecture dans le cas particulier des groupes unitaires (à paraître dans Annals of maths).

Le « lemme fondamental » est une pierre angulaire du « programme de Langlands », formulé en janvier 1967 dans une lettre à André Weil, qui vise à décrire de manière unifiée plusieurs théories mathématiques : géométrie, arithmétique, analyse… Ce domaine est un sujet de pointe où les français excellent et ont été récompensés notamment par la médaille Fields de Laurent Lafforgue.

Initialement Langlands a été stoppé dans sa démarche par un point de nature combinatoire qu’il n’arrivait pas à démontrer. La théorie s’est alors développée en admettant ce lemme, en fait une conjecture difficile, et a porté de nombreux fruits, notamment en arithmétique. Parmi les chercheurs ayant oeuvré pendant ces 30 ans sur la résolution de la conjecture, on trouve de nombreux chercheurs français ou travaillant en France. Citons notamment Jean-Loup Waldspurger, Gérard Laumon, Jean-Pierre Labesse, Laurent Clozel, François Loeser.

C’est la traduction de la combinatoire en langage géométrique qui a permis d’amener une résolution de cette conjecture, notamment grâce à des idées provenant des travaux en physique théorique du mathématicien Nigel Hitchin. Les conséquences de ce résultat exceptionnel sont nombreuses et importantes. Certaines ont d’ailleurs déjà été écrites durant ces trente années : le programme de Langlands permet par exemple de donner un cadre aux résultats qui ont amené à la résolution du théorème de Fermat (la conjecture de Taniyama-Weil) et les généralise dans de nombreuses directions.

21 Mars 2008

- En savoir plus : Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie, Ngô Bao Châu, http://arxiv.org/abs/0801.0446
- Auteur : Bao Châu Ngô (professeur des universités)
- Contact : Bao Châu Ngô, Bao-Chau.Ngo math.u-psud.fr
- Site du laboratoire (Laboratoire de mathématiques d’Orsay, Unité Mixte de Recherche 8626 : CNRS et Université Paris-Sud 11)