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Comment la résolution d’équations du 3e degré à la Renaissance a ouvert le champ aux mathématiques modernes

11 décembre 2015

En résolvant l’équation du troisième degré, les mathématiciens de la Renaissance italienne ont initié le développement de la science moderne, en s’émancipant, semble-t-il pour la première fois, du cadre conceptuel de l’Antiquité.

Rappelons que Cardan avait reçu de Tartaglia en 1539 une formule de résolution qui fut la base de ses propres contributions. Cardan croyait avoir reconstitué la façon dont Tartaglia l’avait obtenue, sur la base de la géométrie euclidienne dans l’espace. Sa vérification a posteriori a reçu une très large diffusion, et semblait jusqu’à maintenant avoir été la base de tous les travaux ultérieurs sur la théorie des équations. Mais les mathématiciens ne furent pas tous satisfaits de la situation. Lagrange, dans les années 1770, notait que les équations du troisième degré exigeaient “pour être résolues des artifices particuliers qui ne se présentent pas naturellement.” Depuis, un nombre considérable d’articles et d’ouvrages a été consacré à la recherche de la dérivation de Tartaglia.

Au-delà des questions de priorité, le problème était de déterminer comment Tartaglia avait pu contourner les limitations fondamentales du cadre euclidien. L’article [1] apporte des éléments nouveaux en mettant en valeur le fait qu’un texte célèbre de 1546, où Tartaglia insiste sur sa priorité, contient également des indications sur sa démarche. L’analyse de ce texte montre que c’est grâce à la façon originale dont il a interprété la tradition qu’il a pu la dépasser. Tartaglia s’est basé sur des propriétés des proportions continuées (ou “progressions géométriques”) données sans démonstration par Luca Pacioli dans sa “Summa de Arithmetica Geometria Proportioni et Proportionalita” (1494) - l’un des traités les plus célèbres de cette époque. Ces propriétés ne font pas toutes partie du corpus euclidien. En outre, elles n’ont pas été retenues par les mathématiques modernes comme des résultats fondamentaux. Pour Tartaglia, les résultats connus à son époque permettent de manipuler des racines cubiques, ou même des racines d’ordre plus élevé, dans le cadre de la géométrie plane, où on peut construire des racines cubiques avec une approximation arbitrairement petite. Il ne disposait pas de la notion d’identité algébrique, mais la théorie des proportions lui en a fourni un substitut partiel.

En analysant le récit que fait Tartaglia, en 1546, des circonstances qui l’ont conduit à sa découverte du mode de résolution de certaines équations du troisième degré, ce travail apporte un éclairage nouveau sur des aspects méconnus de l’histoire de l’algèbre.

Référence : [1] S. Kichenassamy, Continued proportions and Tartaglia’s solution of cubic equations, Historia Mathematica, 42 :4 (Nov. 2015) 407–435. doi

Contact : Satyanad Kichenassamy | LMR - ARC Mathématiques | FR 3399 |