Accueil du site > Actualité de la recherche > Actualités scientifiques




Recherchez sur ce site


Une médaille d’argent sur des questions à l’interface avec la géophysique et la physique statistique

14 avril 2016

Isabelle Gallagher est lauréate de la médaille d’argent 2016 du CNRS. Elle travaille en équations aux dérivées partielles (EDP), tout particulièrement dans le cadre de la mécanique des fluides. Elle a apporté avec ses collaborateurs des contributions importantes sur la compréhension des équations de Navier Stokes, du comportement des fluides géophysiques et sur des questions de limites cinétiques.

Équations de Navier Stokes

Les équations de Navier-Stokes sont au cœur de la mécanique des fluides. Ce système d’équations d’évolution non linéaires constitue un des principaux modèles pour décrire les mouvements d’un fluide. Dans le cadre physique le plus classique, c’est à dire en dimension trois, on sait depuis 1930 et les travaux pionniers de Jean Leray que si la vitesse initiale du fluide est dans l’espace de Lebesgue des fonctions de carré intégrable, alors l’évolution de cette donnée initiale par l’équation de Navier Stokes donne lieu à une solution faible définie pour tous temps. Malheureusement, ce résultat ne permet pas de trancher quant à la formation éventuelle d’une singularité pour cette solution : répondre à cette question, pour laquelle il n’y a pas à ce jour de consensus sur la conclusion à attendre, constitue l’un des prix du millénaires énoncés par l’Institut Clay au début du siècle. À la fin du 20e siècle, les techniques modernes d’analyse ont permis d’affiner l’état des connaissances, et de mettre en évidence une famille d’espaces fonctionnels critiques, de type espace de Besov : une conséquence de ce caractère critique est qu’on sait que des données initiales petites dans un de ces espaces donne lieu à une solution globale en temps qui ne développe pas de singularité. Dans une série de travaux, Isabelle Gallagher et ses collaborateurs, Jean-Yves Chemin et Marius Paicu (cf. [1]), ont construit de nouvelles solutions globales pour l’équation de Navier Stokes, qui ne correspondent pas à des données initiales petites mais à des données arbitrairement grandes dans un espace critique. Ils ont par ailleurs montré que ces solutions étaient stables, selon plusieurs types de perturbations.

Fluides géophysiques

En prenant en compte les ordres de grandeur des paramètres physiques, l’équation de Navier-Stokes décrit également le mouvement de l’eau à grande échelle, en particulier de l’océan. Il faut alors prendre en compte un terme de Coriolis, pénalisé de façon singulière, c’est-à-dire comportant un facteur 1/e, avec e>0 petit. Ce nombre est appelé nombre de Rossby et est de l’ordre de 0,07. Dans le but d’effectuer des simulations numériques performantes, par exemple pour les prévisions météorologiques, on considère le comportement de la solution lorsque e tend vers zéro : l’erreur ainsi commise devrait être négligeable devant le résultat obtenu. Isabelle Gallagher a apporté des justifications rigoureuses du point de vue mathématique de ces approximations. Avec Laure Saint-Raymond, elle s’est aussi intéressée au modèle dit « beta-plan », qui décrit le mouvement de l’océan près de l’équateur, en présence d’un autre petit paramètre appelé nombre de Froude qui tend vers 0. Elles parviennent ainsi à mettre en évidence les ondes géophysiques connues sous le nom d’ondes de Rossby, de Poincaré et de Kelvin. Du point de vue mathématique, les outils utilisés dans ce cadre font intervenir l’analyse spectrale et l’analyse de Fourier pour obtenir une description fine des oscillations des solutions, l’introduction d’espaces fonctionnels adaptés pour justifier l’existence de solutions et mesurer les erreurs d’approximation, notamment par des techniques de filtrage d’oscillations. Dans la continuité de ce travail, en 2012, Isabelle Gallagher, Laure Saint-Raymond et leurs collaborateurs ont étudié la propagation de structure cohérente d’ondes océaniques (cf [2]). À l’aide d’une très jolie synthèse d’outils venant de divers horizons de l’analyse mathématique (calcul pseudo-différentiel, analyse spectrale, mesures de Wigner, formes normales), ils ont justifié la propagation des ondes de Poincaré (ondes dispersives rapides) et des ondes de Rossby (ondes plus lentes, se propageant seulement vers l’est).

Limites cinétiques et hydrodynamiques

Dans le cadre du programme de Lanford, Isabelle Gallagher, Laure Saint-Raymond et Benjamin Texier ont justifié l’obtention de l’équation de Boltzmann à partir des équations de Newton (cf. [3]). Ils considèrent un modèle de N sphères dures dont les interactions sont régies par les équations de Newton avec des interactions répulsives à courte portée (portée de taille L), et regardent ce qui se passe lorsque N tend vers l’infini et L vers 0 en maintenant constant le produit de N par L à la puissance d-1 (d étant la dimension d’espace) : pour caractériser ce régime, on parle alors de la limite Boltzmann Grad. Les auteurs montrent qu’en temps court, les états statistiques des solutions de la hiérarchie BBGKY convergent vers la hiérarchie de Boltzmann. Dans la lignée des travaux mathématiques de Lanford, de Cercignani-Illner-Pulvirenti et d’autres, c’est la première preuve complète d’un tel résultat. Tout récemment, dans un article paru dans Inventiones Mathematicae (cf.[4]), Thierry Bodineau, Isabelle Gallagher et Laure Saint-Raymond ont justifié l’obtention du mouvement brownien à partir de modèles cinétiques, cette fois-ci en étudiant un autre régime caractérisé par le fait que le produit ci-dessus tend maintenant vers l’infini, au lieu d’être constant comme dans la limite Boltzmann grad. La nouveauté de ce résultat est que c’est le premier résultat de ce type où on part d’une situation purement déterministe (les équations de Newton pour des sphères dures) et qu’on obtient à la limite un brownien.

Références :

[1] Jean-Yves Chemin, Isabelle Gallagher, et Marius Paicu, Global regularity for some classes of large solutions to the 
Navier-Stokes equations, Ann. Of Math. (2) 173 (2011), no. 2, 983–1012.

[2] Christophe Cheverry, Isabelle Gallagher, Thierry Paul, et Laure Saint-Raymond, Semiclassical and spectral analysis of oceanic waves, Duke Math. J. 161 (2012), no. 5, 845–892.

[3] Isabelle Gallagher, Laure Saint-Raymond, et Benjamin Texier, From Newton to Boltzmann : hard spheres and short-range potentials, Zurich Lectures in Advanced Mathematics, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2013.

[4] I. Gallagher, T. Bodineau et L. Saint-Raymond, The Brownian motion as the limit of a deterministic system of hard-spheres, Inventiones mathematicae, 203 (2016), 493-553.

Contact : Isabelle Gallagher | IMJ-PRG | UMR 7586 |