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Convergence des solutions de l’approximation ergodique de l’équation d’Hamilton-Jacobi

9 juin 2016

Dans un article récent, Andrea Davini, Albert Fathi, Renato Iturriaga et Maxime Zavidovique reviennent sur un des premiers faits d’arme des solutions de viscosité : le théorème d’homogénéisation de P.-L. Lions, G. Papanicolaou et S. R. S. Varadhan. Ils apportent un nouvel éclairage à ce théorème avec des idées issues du contrôle optimal et de la théorie KAM faible.

Introduites au début des années 80 par Crandall et Lions, les solutions de viscosité offrent une notion naturelle de solutions faibles pour une large classe d’EDP d’Hamilton-Jacobi. À la même époque, la théorie d’Aubry-Mather, développée essentiellement dans le cadre Hamiltonien par Mather, a pour but initial d’étudier des problèmes de dynamique a priori très différents, comme la diffusion d’Arnold. La théorie KAM faible de Fathi, qu’il met au point dans les années 90, tend à faire le pont entre ces deux pans des mathématiques. C’est dans ce contexte que les récents travaux de Davini, Fathi, Iturriaga et Zavidovique reviennent sur le théorème d’homogénéisation de Lions, Papanicolaou et Varadhan.

Soit H : {\bf R}^N\times {\bf R}^N une fonction continue, appelée Hamiltonien, {\bf Z}^N périodique en la première variable x et uniformément coercive en la seconde p (H(x,p)\rightarrow +\infty quand |p|\rightarrow +\infty) et u_0 =  {\bf R}^N\to {\bf R} une donnée initiale bornée et uniformément continue. Pour \varepsilon >0 on note alors u^\varepsilon(t,x):{\bf R}_+\times {\bf R}^N l’unique solution de viscosité du problème de Cauchy

 \partial_t u^\varepsilon + H(x/\varepsilon, D_xu^\varepsilon) = 0,\;\;
u^\varepsilon(0,\cdot) = u_0.

Dans leur travail pionnier [LPV], bien que jamais publié, Lions, Papanicolaou et Varadhan démontrent en 1987 que la famille u^\varepsilon converge uniformément vers une fonction u^0 quand \epsilon\to 0. La fonction u^0 est caractérisée comme l’unique solution d’un nouveau problème de Cauchy \partial_t u^0 + \overline H( D_xu^0) = 0 avec même condition initiale. La fonction \overline H, appelée Hamiltonien effectif, est définie comme suit : si P\in{\bf R}^N, \overline H(P) est l’unique constante pour laquelle l’équation (dite de la cellule) H(x, P+D_xv)= \overline H(P) admet une solution de viscosité v : {\bf R}^N\rightarrow {\bf R} qui soit {\bf Z}^N-périodique.

L’unicité de \overline H(P) n’est pas très difficile, mais l’existence occupe une partie cruciale du travail. Les auteurs utilisent l’approximation ergodique : si \lambda>0 alors l’équation \lambda v + H(x, P+D_xv)=0 admet toujours une unique solution de viscosité périodique v_\lambda : {\bf R}^N \to {\bf  R}. Ils montrent ensuite que la famille \lambda v_\lambda converge vers une constante, -\overline H(P) et que l’on peut extraire une suite \lambda_n\to 0 telle que v_{\lambda_n} +\overline H(P)/\lambda_n converge vers une solution v du problème de la cellule. Le détour par l’approximation ergodique vient du fait que plusieurs solutions v peuvent exister.

Dans leur récent papier [DFIZ1], Davini, Fathi, Iturriaga et Zavidovique montrent que si H est convexe en la variable p, alors toute la suite v_{\lambda} +\overline H(P)/\lambda converge. La preuve utilise le fait que dans ce cadre, les fonctions v_\lambda sont données par des formules explicites de type contrôle optimal (formules de Lax-Oleinik). L’ingrédient clé : les mesures minimisantes introduites par Mather et en particulier, des mesures adaptées au problème de l’approximation ergodique.

Les idées de la démonstration s’adaptent dans un cadre particulièrement élémentaire qui revient à discrétiser en temps les formules de contrôle optimal (voir [DFIZ2]). On obtient un formalisme qui n’est pas sans rappeler la théorie des jeux. Soit X un espace métrique compact et c : X\times X\to {\bf R} une fonction continue. Si \Lambda \in ]0,1[ on montre facilement qu’il existe une unique fonction v_\Lambda telle que

\forall x\in X, \quad v_\Lambda(x ) = \inf_{y\in X} \Lambda v_\Lambda(y) + c(y,x).

Le résultat de Davini, Iturriaga, Fathi et Zavidovique est maintenant qu’il existe une unique constante c_0\in \mathbb R telle que la famille de fonction v_\Lambda + c_0/(1-\Lambda) converge uniformément quand \Lambda \to 1. Dans ce cadre, les mesures minimisantes de Mather sont des mesures de probabilité, \mu, sur X\times X, fermées (dont les deux marginales coïncident) et qui minimisent dans cette classe de mesure la quantité \int_{X\times X} c(x,y) d\mu.

Ce résultat, semble-t-il, n’était connu auparavant que dans le cadre où X est un ensemble fini.

Figure 1. Clin d’oeil à Albert Fathi : son portrait via un "processus d’homogénéisation".
Image générée par le logiciel libre MacOSaiX.
Toutes les photos utilisées pour composer la mosaïque sont issues de la Photothèque du CNRS.

Figure 2. Détail : l’oeil

Figure 3. L’oeil, même cadrage, changement d’échelle

Figure 4. Le col de la chemise

Références

[DFIZ1] A. Davini, A. Fathi, R. Iturriaga and M. Zavidovique, Convergence of the solutions of the discounted Hamilton- Jacobi equation, Inventiones Mathematicae, à paraître.

[DFIZ2] A. Davini, A. Fathi, R. Iturriaga and M. Zavidovique, Convergence of the solutions of the discounted equation : the discrete case, Mathematische Zeitschrift, à paraître.

[LPV] P.-L. Lions, G. Papanicolau and S. R. S. Varadhan, Homogenization of Hamilton—Jacobi equations, preprint non publié, 1987.

Contacts :

Albert Fathi | Unité de Math Pures et Appliquées de l’ENS Lyon | UMR 5669

Maxime Zavidovique | Institut de Mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche | UMR 7586