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Paysage de la géométrie algébrique

1er juin 2016

La leçon inaugurale de Claire Voisin au Collège de France le 2 juin 2016 est l’occasion de parler de géométrie algébrique. Les premiers questionnements de géométrie algébrique remontent à l’Antiquité. Depuis lors, c’est une longue histoire des idées, jalonnée d’avancées étonnantes effectuées par des personnalités marquantes. Qui sont les géomètres algébristes d’aujourd’hui ? François Charles, professeur à l’Université Paris-Sud Orsay, répond aux questions de CNRS Le Journal.

Certains géomètres algébristes comme Alexandre Grothendieck sont des personnalités dont on parle beaucoup. Aujourd’hui, quels sont les géomètres algébristes les plus connus dans le monde et en France ?

Nous avons la chance d’avoir en France une communauté de géomètres algébristes mondialement reconnue et très variée. La géométrie algébrique n’est pas une discipline monolithique et elle interagit aujourd’hui de manière très fertile avec de nombreux domaines des mathématiques. Cela se traduit par une grande diversité des approches, des méthodes et des motivations des chercheurs, et c’est une partie importante de la richesse de la recherche française dans ce sujet. On peut ainsi tisser des liens entre l’arithmétique, la topologie, la géométrie, l’analyse complexe, l’algèbre… Cette façon de procéder est extrêmement féconde : les deux médailles Fields de Laurent Lafforgue en 2006 et Ngô Báo Châu en 2010 viennent d’une application frappante d’idées géométriques profondes – certaines venant même de la physique mathématique – à des problèmes issus de l’arithmétique. Claire Voisin, académicienne et prix Heinz Hopf en 2015, a dans ses travaux mélangé topologie, analyse complexe et idées géométriques classiques, reprenant dans des termes très modernes des travaux et des questions très anciens.

C’est la première mathématicienne à entrer au Collège de France, c’est bien cela ?

Oui, elle va y entrer en juin prochain. Il y a des femmes au Collège de France mais dans d’autres disciplines : Françoise Combes en cosmologie, Christine Petit et Edith Heard pour les sciences du vivant, Anne Cheng en histoire et littérature et Claudine Tiercelin en sciences humaines. Mais Claire est la première en mathématique. Elle rejoint Pierre-Louis Lions et Jean-Christophe Yoccoz, médailles Fields 1994 ainsi que Alain Connes, médaille Fields 1982 et Richard Berry pour les sciences du numérique. Claire a reçu le prix Clay en 2008, comme Alain Connes en 2000 et Andrew Wiles, l’homme du théorème de Fermat.

Pouvez-vous nous expliquer ce sur quoi travaillent les géomètres algébristes ? Je ne vous cache pas que c’est surprenant pour un non mathématicien de voir associées la géométrie et l’algèbre : la géométrie, pour quiconque est allé au collège, c’est l’étude des figures et l’algèbre évoque des calculs abstraits. Vous pouvez nous expliquer ?

La première clé de cette association, c’est le fait que certaines figures géométriques peuvent se décrire avec des équations. Dans le plan par exemple, on repère les points avec deux coordonnées, la coordonnée horizontale, notée traditionnellement « x » et la coordonnée verticale « y ». Beaucoup de figures usuelles ont une description simple en termes de ce x et de ce y. Par exemple, le cercle de centre (0,0) et de rayon 1 est l’ensemble des points (x,y) tels que x^2+y^2=1. Cette relation est une « équation algébrique », elle définit un lieu géométrique qui est appelé « variété algébrique » car il est défini par une équation algébrique. Si on s’intéresse à ces objets – par exemple à la géométrie des cercles, paraboles, etc. – on peut étudier leurs équations par des méthodes d’algèbre, en regardant des polynômes, en résolvant des équations. La seconde clé, qui est plus difficile à saisir, c’est que l’association est à double sens : si l’on s’intéresse à une équation, on peut regarder la variété algébrique qui lui correspond, et on peut essayer d’appliquer des méthodes géométriques pour dire quelque chose d’intéressant sur notre équation de départ. C’est une des beautés du sujet : utiliser des méthodes algébriques pour faire de la géométrie, et des méthodes géométriques pour faire de l’algèbre.

Il paraît très étrange de réunir ces deux mondes ! Comment est-on venu à cette idée ?

C’est une longue histoire. L’étude des variétés algébriques, les plus simples au moins, est très ancienne : les Grecs déjà connaissaient bien les coniques, qui sont les courbes définies par des équations de degré 2. Mais ils ne s’intéressaient pas vraiment aux équations elles-mêmes. Il a fallu attendre bien plus tard pour que les notations et les méthodes algébriques apparaissent. À la fin du XIXème siècle, notamment en Allemagne, l’algèbre pure se développe, avec par exemple les travaux de Max Noether, puis de sa fille Emmy Noether, et de Hilbert. C’est le moment où des idées d’algèbre abstraite commencent à prendre leur place dans la géométrie. On commence, en Italie notamment, à étudier des variétés algébriques de plus en plus compliquées, à mélanger de plus en plus intuition géométrique et raisonnements algébriques. C’est une période très riche.

Ensuite, tout se complique un peu. Il y a au moins deux mouvements. Le premier part de l’analyse complexe et de la topologie. La topologie, c’est une discipline des mathématiques qui discourt (logos) sur la forme et les caractéristiques du « lieu » (topos) d’étude. Pour nous, il s’agit de décrire les propriétés de notre variété algébrique : est-ce qu’elle se referme sur elle-même comme le cercle ? Est-ce qu’elle est constituée de plusieurs parties disjointes ? Avec Poincaré, on commence à se poser ce type de questions. Au même moment, on se rend compte que l’analyse – celle des intégrales et des dérivées – se mêle à ces idées géométriques. Ces idées sont développées par Hodge, et par Lefschetz. L’histoire de Lefschetz est d’ailleurs assez étonnante. Né en Russie, il émigre en France, fait ses études d’ingénieur à l’Ecole Centrale, puis émigre aux Etats-Unis. Il devient géomètre à la suite d’un accident qui lui a fait perdre ses deux mains : pendant sa convalescence, il a étudié les mathématiques. L’école mathématique américaine lui doit beaucoup et ces idées continuent à se développer là-bas. L’école française lui est aussi redevable, puisqu’il est le grand-père scientifique d’Harold Rozenberg qui forma un certain nombre de nos collègues géomètres !

D’un autre côté, il y a un mouvement de refondation de la géométrie algébrique, qui commence avec Zariski et Weil au milieu du XXème siècle.

Qu’entendez-vous par refondation ?

Les importantes avancées de la géométrie algébrique en Italie ne sont pas si faciles à comprendre à cette époque. Et ce, notamment parce que tous ces travaux n’étaient pas entièrement rigoureux. Certains de nos géomètres du début du XXème siècle ont même énoncé des théorèmes faux. Bien sûr, ce n’est pas qu’ils étaient de mauvais mathématiciens, c’est plutôt qu’ils ne disposaient pas d’un langage pour traduire avec précision leurs intuitions. Et cette précision est cruciale en mathématiques : c’est seulement quand on travaille avec des bases solides que l’on peut traduire “ce qui se voit sur le dessin” en des théorèmes rigoureux. Oscar Zariski et André Weil, ont beaucoup travaillé pour donner des fondements à la géométrie algébrique. Un peu plus tard, dans les années 1950 et 1960, c’est la théorie des schémas de Grothendieck, développée notamment en France par de nombreux mathématiciens, qui introduit le langage utilisé aujourd’hui. Mais Grothendieck fait beaucoup plus que fixer un langage : ce faisant, il élargit de manière très importante le champ de nos intuitions géométriques. Il imagine des concepts qui permettent de faire de la géométrie, et de la topologie – d’utiliser notre intuition visuelle, finalement – sur des objets très généraux, venant de l’arithmétique par exemple.

Et que cherchent les géomètres algébristes aujourd’hui ? Comment l’expliqueriez-vous à un non mathématicien ?

Il n’y a pas qu’une seule réponse à cette question : le champ de la géométrie algébrique contemporaine est très large et les problèmes intéressants sont nombreux. Je voudrais décrire malgré tout un problème très classique qui connaît en ce moment des développements spectaculaires. La première étape pour comprendre ce dont il s’agit, c’est de penser à une équation du second degré ax^2 + bx +c. On sait bien qu’on a une formule pour en trouver les deux racines, si elles existent, mais ce n’est pas si facile à faire de tête : il faut extraire la racine carrée du discriminant b^2-4ac. Par contre, si on connaît déjà une des deux racines, i.e. qu’on a une racine évidente, appelons-la x_0, on peut facilement trouver l’autre : c’est -b/a-x_0. Ce calcul là, on peut le faire à la main, pas besoin de calculatrice. On dit que la seconde solution est une fonction rationnelle de la première.

Il n’y a pas beaucoup de géométrie là-dedans, mais considérons maintenant le cercle de rayon 1 et de centre (0, 0). On l’a vu plus haut, il est défini par l’équation x^2+y^2=1. Comment trouver des solutions de cette équation ? Bien sûr, je peux prendre d’abord x, et ensuite calculer y, mais ce n’est pas facile à faire à la main, il faut extraire une racine carrée. Je peux donner une recette plus astucieuse, un peu magique à première vue : prenons un nombre arbitraire t. Je pose alors x=2t/(1+t^2) et y=(1-t^2)/(1+t^2). Ce sont des formules un peu bizarres, mais elles donnent bien un point du cercle, et calculer x et y à partir de t est facile même à la main.

Les formules ci-dessus ont une propriété bien agréable : étant donné un point du cercle, on peut toujours trouver une valeur de t qui nous le fournit – cette valeur est même unique. On dit que l’on a trouvé un paramétrage rationnel du cercle unité, ou bien que le cercle est une variété rationnelle. La question est la suivante : étant donnée une équation algébrique, définit-elle une variété rationnelle ? Autrement dit, quand peut-on paramétrer ses solutions comme ci-dessus ?

On ne peut pas toujours trouver un paramétrage ?

Un paramétrage rationnel, non, pas toujours ! En fait, il y a plein de paramétrages possibles, mais très peu sont rationnels. Par exemple, on peut aussi écrire x =cos t, y=sin t, mais ce n’est pas un paramétrage rationnel car les fonctions cosinus et sinus ne peuvent pas s’écrire comme des quotients de fractions rationnelles.

La plupart des variétés algébriques n’ont pas de paramétrage rationnel. Ce n’est pas si facile, mais on peut montrer que la courbe d’équation x^3+y^3=1 n’en a pas. La situation générale est mal comprise : il y a beaucoup d’équations très simples dont on ne sait pas si elles définissent des variétés rationnelles.

Que sait-on donc de la rationalité en général ?

Les mathématiciens grecs connaissaient bien l’exemple du cercle que j’ai donné ci-dessus. Aujourd’hui, on a plus d’informations : dans le cas des courbes et des surfaces – les équations à seulement deux ou trois variables – on comprend essentiellement tout de la rationalité.

Ensuite, tout est plus mystérieux. Dès la fin du XIXème siècle, Max Noether demande quand une équation de degré 3 (mais à plusieurs variables) définit une variété rationnelle. À quatre variables, ce n’est presque jamais le cas, mais c’est un problème très difficile, qui n’a été résolu que dans les années 1970 par deux mathématiciens américains, Clemens et Griffiths – il faut beaucoup d’analyse et de géométrie. À cinq variables, on a quelques exemples, mais aucun résultat sur le cas général. C’est une question élémentaire mais très difficile. Les mathématiciens ont beaucoup de questions à ce sujet, et beaucoup d’hypothèses, mais aujourd’hui essentiellement aucune réponse ! Peut-on trouver une équation de degré 3 à 5 variables qui ne définisse pas une variété rationnelle ? On ne le sait pas (encore) !

Et Claire Voisin dont nous parlions tout à l’heure, vous pouvez nous expliquer un peu ses travaux ?

Depuis 2013, Claire Voisin a beaucoup travaillé sur les questions précédentes. Comment montrer qu’une variété n’est pas rationnelle ? Il faut isoler certaines propriétés particulières de ces variétés. Pour ce faire, Claire Voisin a réussi à combiner l’étude de leur topologie – de leur forme – avec des idées plus “grothendieckiennes” qui amènent à faire de la géométrie sur des objets plus exotiques. Soyons jargonnant pour une phrase : Claire Voisin a remarqué l’importance, pour les équations qui nous occupent, de considérer non seulement des solutions dont les coordonnées sont des nombres réels, mais aussi des “corps de fonctions”…

Ce qui est frappant, c’est que de toutes ces idées abstraites qui mélangent plusieurs aspects de la géométrie algébrique contemporaine, et qui font se rencontrer les différentes tendances historiques dont j’ai parlé plus haut, Voisin a su extraire un critère concret. Elle l’a ensuite appliqué pour montrer que beaucoup de variétés ne sont pas rationnelles, réalisant de progrès importants sur des questions très anciennes. Ces derniers temps, de nombreux mathématiciens en France et dans le monde s’attachent à développer cette méthode, mais elle ne s’applique toujours pas au le problème dont on parlait ci-dessus, celui des équations de degré 3. Bien sûr, ce que je dis au printemps 2016 ne sera peut-être plus valable bientôt, et je l’espère.

Un mot de conclusion ?

La géométrie algébrique aujourd’hui est très diverse : elle peut être, et sans ordre particulier, analytique, arithmétique, d’Arakelov, birationnelle, tropicale, dérivée, réelle, rigide, perfectoïde… Elle n’est pas isolée des autres disciplines : l’arithmétique en a toujours été proche, mais c’est maintenant aussi le cas de certains pans de la logique ou des systèmes dynamiques – les travaux de la lauréate de la médaille Fields Maryam Mirzhakani en sont un exemple. Les fondements de la géométrie algébriques sont toujours en travaux, et ils s’adaptent aux besoins des mathématiques actuelles.

Nous avons la chance en France d’avoir une école riche et dynamique. Chaque année, des jeunes venant de pays variés et travaillant en géométrie algébrique viennent en France pour se former ou collaborer avec des mathématiciens en poste ici. La tradition française est très forte, et de nombreux textes essentiels n’existent que dans notre langue. Cependant, la géométrie algébrique n’est pas figée, et l’arrivée de Claire Voisin au Collège de France est un bel exemple de l’ouverture et de la modernité de cette discipline ancienne.

Pour lire l’article sur CNRS Le Journal

Contact : François Charles | Laboratoire de Mathématiques d’Orsay | Université Paris-Sud | UMR 8628