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Marches aléatoires renforcées et théorie quantique des champs

28 juin 2016

Dans un article récent, Christophe Sabot et Pierre Tarrès montrent un lien explicite entre les marches aléatoires renforcées par arêtes et un modèle supersymétrique sigma hyperbolique en théorie quantique des champs, introduit par Zirnbauer en 1991 et étudié par Disertori, Spencer et Zirnbauer en 2010.

Ce nouvel éclairage permet aux auteurs de résoudre la conjecture de Diaconis sur le comportement asymptotique de ces marches sur {\mathbb Z}^d, en particulier ils peuvent ainsi montrer une transition de phase récurrence/transience en dimension d\geq 3 [DST15,ST15a].

Les marches aléatoires renforcées sont des processus aléatoires évoluant dans un environnement modifié par leur propre comportement, par le fait qu’elles se renforcent sur les sites ou les arêtes déjà visités : elles ont été introduites par Coppersmith et Diaconis en 1986.

Fig1 : Réalisation d’une marche aléatoire renforcée par Franz Merkl and Silke W. W. Rolles [MR]. Les sites les plus visités apparaissent en couleurs chaudes (jaune rouge), les moins visités en couleurs froides (bleu, noir).

Formellement, on se munit d’un graphe G=(V,E) non-orienté localement fini. Un processus (X_n)_{n\geq 0} est appelé marche aléatoire renforcée par sommets si, à chaque instant n\in{\mathbb N}, si X_n=i alors la probabilité de visiter un sommet adjacent j à i est \frac{Z_n(j)}{\sum_{k\sim i}Z_n(k)},Z_n(k) est le nombre de visites au sommet k à l’instant n, avec la convention que le nombre de visites initial est une constante a>0 fixée au départ. Si l’on remplace le nombre de visites au sommet adjacent Z_n(k) par le nombre de traversées de l’arête \{i,k\}, alors le processus est appelé marche aléatoire renforcée par arêtes.

Malgré leurs définitions similaires, ces deux processus ont un comportement radicalement différent : sur une large classe de graphes de degré borné on peut montrer que la marche renforcée par sommets reste asymptotiquement bloquée dans un sous-ensemble fini avec probabilité positive. Volkov a montré en 2001 que cette probabilité est 1 sur les arbres. En particulier, sur les entiers relatifs, la marche va finir par se localiser presque-sûrement sur cinq points consécutifs : ce résultat a été conjecturé par Pemantle et Volkov en 1999 puis prouvé par Tarrès en 2004.

La marche renforcée par arêtes satisfait une propriété d’échangeabilité partielle : la probabilité d’effectuer un chemin donné ne dépend que du nombre de traversées de chaque arête, et non de l’ordre dans lequel sont faites ces visites. On peut en déduire, en utilisant un résultat de Diaconis et Freedman en 1980, qu’elle est alors une marche en environnement aléatoire, et que, si un site est visité infiniment souvent, alors l’ensemble du graphe le sera (à l’inverse de la marche renforcée par sommets), ce que l’on appelle récurrence du processus. Si au contraire aucun site n’est visité infiniment souvent, on dit que la marche est transiente.

Pemantle a prouvé en 1988 une transition de phase récurrence/transience sur les arbres, et Merkl et Rolles ont montré en 2009 que cette marche est récurrente sur une version dilatée de {\mathbb Z}^2 pour des grands renforcements, c’est à dire lorsque les poids a sont assez petits.

Le lien entre les marches aléatoires renforcées par arêtes et la théorie quantique des champs passe par un autre processus à temps continu, le processus de sauts renforcé par sommets proposé par Werner et introduit par Davis et Volkov en 2002, et défini de la manière suivante. On se donne initialement des conductances W_{ij} sur chaque arête non-orientée \{i,j\}. A l’instant t, si le processus est au site i, alors il saute en j\sim i dans l’intervalle de temps [t,t+dt] avec probabilité W_{ij}L_j(t)\,dt,L_j(t) est le temps passé en j à l’instant t, avec la convention que le temps initial passé en chaque site est 1.

Le processus de sauts renforcé par sommets, pris avec des conductances aléatoires W_{ij} de loi Gamma de paramètre a_{ij} indépendantes et observé aux temps de sauts, est une marche aléatoire renforcée par arêtes [ST15a].

Le processus de sauts renforcé par sommets satisfait également une propriété d’échangeabilité, et l’on peut ainsi à nouveau en déduire qu’il est un mélange de processus markoviens de sauts. Sabot et Tarrès [ST15a] ont montré que la mesure de mélange est donnée par le modèle supersymétrique sigma hyperbolique en théorie quantique des champs, introduit par Zirnbauer en 1991 dans le but de refléter le comportement qualitatif des matrices aléatoires par bandes.

Les propriétés de localisation/délocalisation de ce champ au sens de la physique statistique avaient été étudiées en détail par Disertori, Spencer et Zirnbauer en 2010. Elles permettent d’en déduire que, sur tout graphe de degré borné, la marche est récurrente presque-sûrement pour des grands renforcements (une autre preuve proposée par Angel, Crawford et Kozma n’utilise pas le lien avec la physique statistique), et qu’elle est au contraire transiente sur {\mathbb Z}^d en dimension d\geq 3 pour des petits renforcements [DST15]. Ces résultats répondent aux conjectures initiales de Diaconis en 1986.

Le processus de sauts renforcé par sommets montre d’autres liens riches avec la physique statistique, en particulier avec le modèle de Schrödinger aléatoire [STZ15] et l’isomorphisme de Dynkin [ST15b], qui permettent en particulier d’étendre le résultat de récurrence de Merkl et Rolles de 2009 à {\mathbb Z}^2 pour tous les renforcements constants [SZ15].


Références :

[DST15] M. Disertori, C. Sabot, et P. Tarrès. Transience of edge-reinforced random walk. Comm. Math. Phys., 339(1) : 121–148, 2015.

[MR] F. Merkl and S. W. W. Rolles. Linearly edge-reinforced random walks. IMS Lecture Notes–Monograph Series Dynamics & Stochastics, 48, 66–77, 2006.

[ST15a] C. Sabot et P. Tarrès. Edge-reinforced random walk, vertex-reinforced jump process and the supersymmetric hyperbolic sigma model. J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 17(9) : 2353–2378, 2015.

[ST15b] C. Sabot et Tarrès. Inverting Ray-Knight identity. Publié en ligne à Probability Theory and Related Fields, 2015. 


[STZ15] C. Sabot, P. Tarrès, et X. Zeng. The vertex-reinforced jump process and a random Schrödinger operator on finite graphs. Prépublication, disponible sur http://arxiv.org/abs/1507.04660, 2015.

[SZ15] C. Sabot et X. Zeng. A random Schrödinger operator associated with the vertex-reinforced jump process and the edge-reinforced random walk. Prépublication, disponible sur http://arxiv.org/abs/1507.07944, 2015.


Contacts :

Christophe Sabot | Institut Camille Jordan | UMR 5208

Pierre Tarrès | Ceremade | UMR 7534