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À l’occasion du prix Paul Doistau-Emile Blutet de l’Académie des Sciences de Hajer Bahouri

31 octobre 2016

Hajer Bahouri, directrice de recherche au CNRS et membre du Laboratoire d’Analyse et de Mathématiques Appliquées (CNRS, Université Paris Est Créteil et Marne-la-Vallée), est lauréate du prix Paul Doistau-Emile Blutet de l’Académie des Sciences. C’est l’occasion de revenir sur ses travaux.

Hajer Bahouri est spécialiste d’équations aux dérivées partielles, notamment d’équations d’évolution, lesquelles décrivent le comportement d’un phénomène physique dépendant du temps. Pour les étudier, elle a utilisé et développé de nombreuses techniques d’analyse harmonique. Ses premiers travaux de recherche consacrés aux questions de prolongement unique pour des opérateurs qui sont des sommes de carrés de champs de vecteurs datent des années 1980 et l’ont conduite tout naturellement à s’intéresser aux groupes de Lie, tout particulièrement au groupe de Heisenberg où le sous-laplacien est justement une somme de carrés de champs de vecteurs ne commutant pas tous entre eux.

Depuis les années 2000, Hajer Bahouri a travaillé avec différents collaborateurs à la généralisation d’une approche microlocale sur le groupe de Heisenberg. Développée dans les années 1970, l’analyse microlocale repose sur l’analyse de Fourier et a permis de spectaculaires avancées dans l’analyse des équations aux dérivées partielles dans le cadre euclidien. Décomposition de Littlewood-Paley, développement d’un calcul para-différentiel, construction d’opérateurs pseudo-différentiels, Hajer Bahouri a développé ces outils, inspirés du cadre euclidien, dans le cadre fonctionnel non-commutatif du groupe de Heisenberg où la transformée de Fourier d’une fonction est un opérateur. Il faut mentionner que ses travaux [1] et [2] ont été source d’inspiration en analyse harmonique et ont donné lieu à diverses généralisations sur des groupes de Carnot ou des groupes de Lie stratifiés encore plus généraux.

Hajer Bahouri s’est aussi intéressée à l’application de ces nouvelles techniques à l’analyse d’exemples spécifiques d’équations d’évolution linéaires et semi-linéaires telles que les équations de la chaleur, des ondes et de Schrödinger, montrant en particulier qu’il n’y a pas de dispersion sur le groupe de Heisenberg pour l’équation de Schrödinger. Cette propriété surprenante a ensuite été analysée pour les groupes de Carnot par Martin Del Hierro puis, dans un article paru cette année [3], Hajer Bahouri a élucidé le mécanisme tout particulier de la dispersion pour des équations de Schrödinger sur ces groupes en étudiant le cas général des groupes de Lie stratifiés. Elle y met en lumière des effets spécifiques aux groupes de Lie stratifiés et calcule précisément le taux de dispersion en fonction de paramètres caractérisant la géométrie de ces groupes.

Les phénomènes de dispersion dans les EDPs sont en effet au cœur des travaux de Hajer Bahouri : elle a su mettre en valeur pour la première fois les propriétés dispersives des équations d’ondes quasi-linéaires en introduisant une méthode de découpage microlocale alliant l’optique géométrique et l’analyse harmonique. Ces travaux [4] ont d’ailleurs eu un écho considérable dans la communauté mathématique et ont valu à Hajer Bahouri d’être conférencière invitée à l’ICM 2002.

Un pan important de ses travaux relève de l’analyse du défaut de compacité d’injections entre espaces fonctionnels. Cette approche, qui remonte aux travaux fondateurs de P.-L. Lions, répond à des problèmes géométriques, et permet également de comprendre le comportement de solutions d’équations aux dérivées partielles non linéaires : ses premiers travaux dans ce domaine [5] ont d’ailleurs connu des applications spectaculaires récemment, notamment pour l’étude du comportement à l’explosion d’équations dispersives non linéaires. Elle s’est par la suite penchée dans [6] sur la caractérisation du défaut de compacité d’injections de Sobolev abstraites incluant un large spectre d’espaces tels que les espaces de Besov, de BMO ou de Lorentz, ainsi que tout récemment sur le défaut de compacité des injections de Sobolev critiques dans les espaces d’Orlicz [7] et [8], qui joue un rôle clef dans l’analyse des solutions de l’équation de Schrödinger à non linéarité exponentielle [9].

Pour conclure, nous voudrions mentionner le rôle important qu’a joué Hajer Bahouri dans la structuration de la recherche en mathématiques en Tunisie, en tant que professeur à la Faculté de Sciences de Tunis de 1988 à 2010. Elle a notamment contribué à fonder le Laboratoire de Mathématiques pures “LEDP” à la Faculté de Sciences de Tunis, laboratoire dont elle a été directrice de 2003 à 2010.

Références :

[1] H. Bahouri, P. Gérard et C.-J. Xu : Espaces de Besov et estimations de Strichartz sur le groupe de Heisenberg, Journal d’Analyse Mathématiques, 82, pages 93-118, (2000).

[2] H. Bahouri, C. Fermanian-Kammerer et I. Gallagher : Phase-space analysis and pseudo-differential calculus on the Heisenberg group, Astérisque, Bulletin de la Société Mathématique de France, 340, (2012).

[3] H. Bahouri, C. Fermanian-Kammerer et I. Gallagher : Dispersive estimates for the Schrödinger operator on step 2 stratifed Lie groups, Analysis and PDE, 9, pages 545-574 (2016).

[4] H. Bahouri et J.-Y. Chemin : Equations d’ondes quasilinéaires et estimations de Strichartz, American Journal of Mathematics, 121, pages 1337-1377 (1999).

[5] H. Bahouri et P. Gérard : High Frequency Approximation of Solutions to Critical Nonlinear Wave Equation, American Journal of Mathematics,121, pages 131-175, (1999).

[6] H. Bahouri, A. Cohen et G. Koch : A general wavelet-based profile decomposition in critical embedding of function spaces, Confluentes Mathematici, 3, pages 387-411, (2011).

[7] H. Bahouri, M. Majdoub et N. Masmoudi : Lack of compactness in the 2D critical Sobolev embedding, the general case, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 101, pages 415-457, (2014).

[8] H. Bahouri et G. Perelman : Fourier approach in lack of compactness in critical Sobolev Orlicz embedding, Mathematical Research Letters, 21, pages 33-54, (2014).

[9] H. Bahouri : Structure theorem for 2D linear and nonlinear Schrödinger equations, Communications in Contemporary Mathematics, 18, 59 pages, (2016).