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Yves Meyer, lauréat du prix Abel 2017

21 mars 2017

Yves Meyer est lauréat du prix Abel "pour son rôle central dans le développement de la théorie mathématique des ondelettes". Félicitations à notre collègue !

Yves Meyer est né en 1939. Il est actuellement professeur émérite à l’École Normale Supérieure Paris-Saclay et membre du CMLA. Il est membre de l’Académie des Sciences, ainsi que membre étranger de l’American Academy of Sciences. Il a dirigé les travaux de thèses de plus de 50 étudiants, qui sont devenus chargés ou directeurs de recherches au CNRS, professeurs dans les universités françaises ou étrangères. Depuis le début de sa carrière il donne un très grand nombre de conférences parmi lesquelles il faut citer les invitations aux trois congrès mondiaux de mathématiques de Nice, Varsovie et Tokyo, et les exposés pléniers au congrès international de physique mathématiques de Swansea ainsi qu’au congrès ICIAM de Washington.

Yves Meyer reçoit aujourd’hui le prix Abel, décerné chaque année par l’Académie norvégienne des sciences et des lettres depuis 2003. Souvent perçue comme le prix Nobel des mathématiciens, cette récompense distingue l’œuvre d’un mathématicien dans son ensemble. Ce prix vient s’ajouter au prix Salem reçu par Yves Meyer en 1970, ainsi qu’au prix Gauss en 2010, deux récompenses majeures en mathématiques, décernées par l’International Mathematical Union. Ces distinctions forcent le respect et illustrent combien l’œuvre d’Yves Meyer est unique : on y trouve des accomplissements théoriques d’une grande profondeur, en particulier dans le domaine de l’analyse harmonique, ainsi que des contributions décisives en direction des autres disciplines scientifiques, notamment par le développement d’outils innovants dans le domaine du calcul numérique qui ont eu un impact majeur dans le monde des applications.

Le prix Abel d’Yves Meyer fait écho au prix Nobel de chimie de Dan Shechtman en 2011 pour la découverte des quasi-cristaux. En effet, dans les années 1960, Yves Meyer introduisit la théorie des ensembles modèles qui a ouvert la voie à la théorie mathématique des quasi-cristaux, en lien avec celle des fonctions presque-périodiques développée par Jean Delsarte et Jean-Pierre Kahane. Rappelons qu’un quasi-cristal est un solide issu d’un alliage chimique qui possède des propriétés macroscopiques proches de celles d’un cristal mais dont la structure n’est pas périodique même si elle possède un certain ordre. Les travaux d’Yves Meyer ont permis d’identifier ces structures non-périodiques comme des cas spécifiques d’ensembles modèles, appelés quasi-cristaux. L’exemple par excellence d’une telle structure est donné par les pavages de Penrose, particulièrement connus pour leur esthétique ; ils ne seront introduits d’ailleurs de façon théorique qu’après ces découvertes fondamentales. Beaucoup plus récemment, en 2011, Yves Meyer a démontré que les ensembles modèles peuvent aider à reconstruire certains signaux sur lesquels on n’a qu’une information partielle sur la localisation de la bande de fréquence (des signaux à bande limitée mais de supports fréquentiels inconnus). Ce développement apporte une contribution importante au paradigme du compressed sensing qui s’est largement développé en traitement du signal, de l’image et de l’information depuis 2005. Les liens entre la théorie des nombres et l’analyse harmonique ont à nouveau été explorés par Yves Meyer en 2016, dans la suite des travaux de Nir Lev et Alexander Olevskii, débouchant sur de fascinantes formules sommatoires de Poisson non périodiques qui avaient été pressenties par Andrew Guinand en 1959.

Les travaux d’Yves Meyer ont également touché la théorie des opérateurs, notamment les opérateurs intégraux singuliers qui, depuis les travaux de Calderon et Zygmund, jouent un rôle crucial pour la compréhension des équations aux dérivées partielles linéaires et non-linéaires. Les exemples les plus connus de tels opérateurs sont l’intégrale de Cauchy sur une courbe Lipschitzienne, ou le potentiel de double couche sur une surface Lipschitzienne. Un résultat fondamental obtenu par Yves Meyer dans les années 1970, en collaboration avec Ronald Coifman et Alan Mac Intosh est la preuve de la continuité de ces opérateurs. Dans la lignée de ces activités viennent entre autres le théorème T(1) de Guy David, et la solution de la conjecture de Kato sur la borne de la racine carrée des opérateurs accrétifs par Pascal Auscher, Steve Hofmann, Michael Lacey, Alan Mac Intosh, John Lewis et Philippe Tchamitchian.

C’est également à propos des équations aux dérivées partielles que se situent des contributions majeures d’Yves Meyer sur les équations de Navier-Stokes. Yves Meyer a lancé dans les années 1990 un programme de recherche ambitieux sur les solutions appelées « solutions mild » et introduites par Tosio Kato dans les années 1980 pour les équations de Navier-Stokes ainsi que pour d’autres équations apparentées. Rappelons que la résolution mathématique rigoureuse des équations de Navier-Stokes qui sont issues de la mécanique des fluides, constitue l’un des sept problèmes mathématiques du prix du millénaire posés par l’institut Clay en 2000. Nul doute que les travaux novateurs d’Yves Meyer ont suscité l’intérêt pour ces équations fondamentales à la compréhension du comportement des fluides. Yves Meyer propose dans les années 90 un usage systématique de l’analyse harmonique, notamment de la théorie de Littlewood-Paley qui donne une manière originale de décomposer des fonctions de carré intégrable. Il parvient ainsi à mettre en lumière le rôle crucial que jouent les oscillations sur la stabilité des solutions des équations de Navier-Stokes. Un exemple du type de résultats qu’il a établi est l’existence globale dans l’espace des fonctions continues en temps à valeurs dans un espace de fonctions intégrables lorsque la condition initiale oscille dans un sens particulier qu’il précise en terme d’appartenance à un espace dit de Besov de régularité négative.

Enfin, c’est sans doute pour ses travaux sur les ondelettes et leurs applications au calcul numérique qu’Yves Meyer est le plus connu. À partir des années 1980, on constate une convergence entre des développements scientifiques dans différents domaines visant à décomposer des fonctions. On utilise les décompositions de Littlewood-Paley en analyse harmonique, l’analyse temps-fréquence en traitement du signal, l’analyse multi-échelle en traitement d’image, les splines et les algorithmes de subdivision en théorie de l’approximation. La contribution fondamentale d’Yves Meyer est alors d’organiser ces découvertes disjointes en une théorie unifiée qui conduit à la construction systématique des bases d’ondelettes dans les années 1990, en particulier dans les travaux d’Ingrid Daubechies et de Stéphane Mallat. Cette théorie permet d’offrir un cadre général dans lequel on peut décomposer des fonctions pour analyser plus finement leurs propriétés locales. Yves Meyer montre que ces bases sont inconditionnelles pour de nombreux espaces fonctionnels de Banach, un résultat théorique mais d’usage fondamental en compression des données et en estimation statistique, par exemple. Aujourd’hui, il existe de très nombreuses applications des ondelettes dont certaines sont spectaculaires - la norme JPEG 2000 fondée sur les ondelettes dites « biorthogonales » constitue l’état de l’art actuel en compression d’image - et se traduisent par un grand nombre de brevets, workshops, publications. Le rôle de leader de cette aventure scientifique revient sans conteste à Yves Meyer. Il fut aussi le premier à se montrer très critique envers certaines affirmations trop optimistes et à suggérer des alternatives aux ondelettes permettant de mieux représenter certaines classes de fonctions, signaux et images. Cette perspective débouche aujourd’hui sur ce que l’on appelle la représentation parcimonieuse d’un signal, c’est-à-dire sa décomposition dans un dictionnaire redondant, autrement dit dans une base contenant bien trop d’éléments, ce qui conduit la décomposition à comporter un grand nombre de termes nuls. Les développements de cette approche jouent aujourd’hui un rôle particulièrement important dans de nombreuses applications, notamment en imagerie astronomique ou médicale.

Dans cette liste de contributions, la théorie des ondelettes est certainement celle dont l’impact est particulièrement visible dans le monde scientifique. Elle l’a été tout récemment lorsque, le 14 septembre 2015, un algorithme utilisant une technique d’analyse en ondelettes a détecté en premier le signal des ondes gravitationnelles.

La diversité de l’ensemble des contributions d’Yves Meyer est révélatrice de sa façon d’aborder la recherche et de l’utilité de la vision d’un mathématicien pour une recherche interdisciplinaire. Yves Meyer a ainsi toujours cherché l’interaction et la discussion avec des experts d’autres disciplines que la sienne, et nombre d’entre eux se sont engagés avec enthousiasme dans les chemins qu’il a su ouvrir. Il est aussi connu pour sa grande générosité, donnant sans compter son temps pour la direction de jeunes chercheurs et sachant s’effacer pour mettre en avant leurs travaux. La carrière d’Yves Meyer nous montre une fois de plus qu’il n’existe pas de ligne de séparation entre mathématiques pures et appliquées, et encore moins entre les mathématiques et le monde pluridisciplinaire des applications. En cela, le comité Abel honore un magnifique ambassadeur des mathématiques vers la société et les autres sciences.

Albert Cohen


Lien vers l’annonce du prix sur le site de L’Académie des sciences et des lettres de Norvège

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