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Interview de Claude Le Bris, conférencier invité à l’ICIAM 2019

19 juin 2019

Interview de Claude Le Bris, chercheur à l’École des Ponts ParisTech et porteur de projet Inria, conférencier invité à l’ICIAM 2019 à Valencia.

Quel est votre domaine de recherche ?

Mon domaine de recherche se situe à l’intersection de la modélisation, de l’analyse, et du calcul scientifique.
Les problèmes qui m’intéressent plus particulièrement sont issus des sciences de l’ingénieur, et, le plus souvent, de la science des matériaux. J’étudie ainsi la modélisation des matériaux à toutes les échelles, ce qui couvre la structure électronique de ces matériaux, leurs propriétés mésoscopiques, et leurs propriétés mécaniques aux échelles les plus grandes. Je m’attelle à comprendre les modèles, à les justifier mathématiquement (existence, unicité, régularité de la solution des équations différentielles en jeu —la plupart sont des équations aux dérivées partielles, mais aussi, de plus en plus, des équations différentielles avec des termes aléatoires). Je cherche aussi à comprendre les liens qu’ils entretiennent entre eux (comment un modèle à une échelle donnée peut être obtenu par limite d’un autre à une échelle plus fine, par exemple par des techniques dites d’homogénisation). Pour ne donner qu’un exemple, on peut ainsi chercher à comprendre mathématiquement et simuler numériquement comment les micro-structures d’un matériau composite et les propriétés locales de ses phases constitutives affectent son comportement mécanique global.
Je m’attache enfin à comprendre les méthodes pour simuler numériquement ces solutions, à rendre plus efficaces ces méthodes, voire en développer de meilleures, plus précises et/ou plus rapides.
Dans cette activité, les ingrédients mathématiques en jeu sont l’analyse sous toutes ses formes (analyse fonctionnelle, analyse des équations aux dérivées partielles, calcul des variations, probabilités appliquées, analyse numérique, …), et les techniques du calcul scientifique (méthodes de discrétisation type éléments finis par exemple, etc).
En un certain sens, ma double affiliation de chercheur à l’Ecole des Ponts et de responsable scientifique d’un projet à Inria est représentative de cette activité aux interfaces.

Les mathématiques, même lorsqu’on les qualifie d’appliquées, sont une science fondamentale. Qu’est-ce que cet énoncé signifie pour vous ?

Pour moi, une caractéristique des mathématiques dans leur ensemble est le souci absolu de rigueur. Par exemple, dans la plupart des disciplines appliquées des sciences de l’ingénieur, on peut aujourd’hui faire des simulations numériques d’ampleur considérable. La question pertinente n’est pas de simuler. Elle est de simuler en garantissant que le résultat de la simulation est, avec une marge d’erreur quantifiée, proche de la solution réelle. La garantie que le modèle représente bien l’essence du phénomène physique est le travail du physicien. Mais la certification que le résultat de la simulation est proche de la solution du modèle est la responsabilité du mathématicien appliqué. Elle ne peut s’obtenir que par une approche mathématique, somme d’une approche d’analyse théorique de la nature mathématique des modèles employés et d’une approche d’analyse numérique des algorithmes pour trouver la solution.
Le mathématicien se consacrant aux applications doit donc avoir une approche pragmatique et inventive en termes de méthodes, savoir traiter le cas par cas, et savoir obtenir une solution à chaque problème. En cela, sa démarche est donc proche de celle de l’ingénieur ou du spécialiste de science appliquée. Mais il doit aussi chercher la généralité derrière le cas particulier, formuler le problème sous forme abstraite pour mieux le résoudre, prouver des théorèmes sur les objets qu’il manipule, ce qui le qualifie comme un acteur de science fondamentale. Les progrès les plus significatifs en sciences appliquées reposent souvent sur des avancées de science fondamentale obtenues par un regard neuf et transverse, voire iconoclaste, beaucoup plus que sur des améliorations incrémentales de l’état de l’art sur un cas particulier.

Que vous apporte le fait de travailler en collaboration ?

Les mathématiques appliquées que je fais sont formées du cheminement entre le problème et sa simulation sur ordinateur. L’étape où, personnellement, je me sens le plus utile est celle de formalisation mathématique d’un problème issu des sciences physiques. Une fois cette formalisation effectuée en les bons termes, le travail mathématique peut s’avérer relativement standard et relever de techniques bien établies (aussi bien au niveau théorique que numérique), ou il peut au contraire faire surgir des questions nouvelles, qui requièrent l’adaptation d’approches classiques ou l’invention de nouvelles approches.
Les deux phases, la première phase, de mathématisation et la seconde phase, de résolution du problème, sont également passionnantes. Pour la première phase par exemple, on doit d’abord comprendre l’essence du problème physique. Pour ceci, il est capital d’avoir les bons interlocuteurs, avec les bonnes compétences de physiciens, mécaniciens, chimistes professionnels. Ce sont eux qui vont vous éduquer, vous raconter les modèles existants, leurs succès et leurs limitations. Par exemple, ils vous diront si ces modèles pèchent parce qu’ils ne représentent pas assez la physique, ou parce qu’ils la représentent suffisamment bien mais sont trop coûteux à simuler. Le mathématicien appliqué peut certes contribuer à l’effort commun dans la première situation, mais il peut surtout être déterminant dans la deuxième. Un aspect très attractif dans cette façon de procéder, et qui se découvre dans la seconde phase, de résolution du problème, est qu’on ne sait pas forcément à l’avance à quel type de questions mathématiques on va être confronté : l’origine est le problème physique, et à partir de là, charge au mathématicien de déceler de quelles techniques il relève, et d’apprendre ce qui est pertinent pour contribuer à le résoudre. Là encore, l’interaction avec des collègues, cette fois mathématiciens, est un point clé. Il s’agit d’identifier les bons outils et alors de s’appliquer à les maîtriser. Or ceux-ci peuvent venir de champs mathématiques jusque-là ignorés.
Aux confins de la démarche, quand le problème est mathématisé, compris, et prêt à être simulé, c’est avec des collègues plus aguerris en calcul scientifique intensif (méthodes de décomposition de domaines, techniques de parallélisation, de programmation, sciences des données, etc) qu’on doit alors discuter. On arrive aux portes de l’informatique scientifique.
Vu le spectre et la technicité des problèmes scientifiques contemporains, il y a de moins en moins de mathématiciens-orchestres capables de tout faire. Surtout en mathématiques appliquées, c’est dans l’assemblage des bonnes compétences, tout au long de la chaîne menant des problèmes physiques à leur simulation numérique, que se situe la seule chance de succès.

Claude Le Bris est chercheur à l’École des Ponts ParisTech, membre du CERMICS (Centre d’Enseignement et de Recherche en MathématIques et Calcul Scientifique) et responsable scientifique du projet MATHERIALS (Mathematics for materials) à Inria.

©DR

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