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Combien cela coûte-t-il de creuser un trou dans un gaz uniforme d’électrons libres ?

9 mai 2011

Une équipe de mathématiciens des universités de Princeton (États-Unis), McGill (Montréal, Canada) et du CNRS/Université de Cergy-Pontoise, a fourni la première estimation rigoureuse de l’énergie nécessaire pour y parvenir.

Il arrive fréquemment que la résolution de questions physiques relativement simples à énoncer, requière l’invention de techniques mathématiques sophistiquées. Considérons par exemple un gaz uniforme, composé d’une infinité d’électrons sans interaction. Quelle énergie doit-on fournir pour ajouter ou enlever un ou plusieurs électrons à ce système ?

Dans un article récemment publié dans Physical Review Letters, une équipe de mathématiciens des universités de Princeton (États-Unis), McGill (Montréal, Canada) et du CNRS/Université de Cergy-Pontoise, a fourni la première estimation rigoureuse de cette énergie.

Jusqu’à présent, les physiciens avaient principalement abordé cette question à l’aide de techniques perturbatives, dont la précision est en général inconnue. Les mathématiciens ont, eux, comparé les prédictions de la mécanique quantique avec celles du modèle semi-classique, dans lequel on considère que la constante de Planck ħ est arbitrairement petite. Ils ont démontré que le coût réel, prédit par la mécanique quantique, ne pouvait être inférieur à celui prédit par l’approximation semi-classique, multiplié par une constante universelle.

Le gaz d’électrons libres sert de base pour la description de systèmes physiques bien plus complexes, par exemple pour expliquer la conduction électrique dans les métaux. Les modèles de type semi-classique, qui sont bien plus simples à manipuler et à utiliser que le modèle quantique, sont largement employés en physique de la matière condensée, ou en astrophysique.

En plus d’accroître notre compréhension fondamentale des systèmes quantiques infinis, le théorème des mathématiciens devrait donc également fortement intéresser la communauté physique au sens large.

Référence :

Rupert L. Frank, Mathieu Lewin, Elliott H. Lieb & Robert Seiringer. "Energy Cost to Make a Hole in the Fermi Sea", Phys. Rev. Lett. 106 (2011), 150402.

Le résultat a été commenté dans :

- Research Highlights, Nature Physics, 7 (April 2011), no 4, p. 278.

et dans
- les synopsis du site de l’American Physical Society

Un article mathématique plus détaillé est en préparation.

Note historique :

En 1975, E.H. Lieb et W. Thirring avaient résolu le même problème dans le vide, mais leur théorème n’avait pu être généralisé au cas du gaz d’électrons libres perturbé localement. En 2010, M. Rumin, un mathématicien de l’université de Paris-Sud, a proposé un nouvel éclairage théorique sur les travaux de E.H. Lieb et W. Thirring. C’est en partie grâce aux travaux de M. Rumin, que R. Frank, M. Lewin, E.H. Lieb et R. Seiringer ont pu traiter le cas du gaz d’électrons.

Contact :

- Mathieu Lewin (Chargé de Recherche CNRS, Laboratoire de mathématiques, UMR 8088 "Analyse, géométrie, modélisation du cnrs et de l’Université de Cergy-Pontoise)
- Adresse : mathieu.lewin math.cnrs.fr
- Page web : http://lewin.u-cergy.fr