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Dynamique aléatoire

18 octobre 2011

Un système dynamique est un système qui évolue dans le temps. Son évolution est couramment modélisée par une transformation de l’ensemble de tous les états possibles du système. Des systèmes dynamiques simples servent souvent de modèle pour comprendre des systèmes plus complexes. C’est le cas pour la transformation "chat" d’Arnold, une application du carré dans lui-même qui a des propriétés fascinantes. En introduisant une seconde transformation "chat" et en adoptant un point de vue probabiliste, Yves Benoist (CNRS/Université Paris-Sud) et Jean-François Quint (CNRS/Université Paris-Nord) montrent que pour tout point de départ irrationnel, la suite des états successifs du système est uniformément répartie dans le carré. Autrement dit, pour les orbites aléatoires, il n’y a pas de point exceptionnel !

Un système dynamique est un système qui évolue dans le temps. Son évolution est couramment modélisée par une transformation T de l’ensemble de tous les états possibles du système : si à un instant donné le système est dans l’état x, alors T(x) représente l’état du système à l’instant suivant. Des systèmes dynamiques simples servent souvent de modèle pour comprendre des systèmes plus complexes. En voici un exemple récent.

La transformation "chat" d’Arnold [1] est une application du carré dans lui-même. Pour l’appliquer, on déforme le carré en l’étirant comme sur la figure ci-dessous, et on recolle ensuite les morceaux.

Plus précisément, elle est définie pour x1 et x2 entre 0 et 1 de la façon suivante :

T(x1, x2) = (2x1 + x2 mod 1 , x1 + x2 mod 1)

où mod 1 signifie "à un entier près".

La théorie des systèmes dynamiques cherche entre autre à décrire, pour une telle transformation T, le comportement statistique de la suite des états successifs du système. Si l’état initial était x, cette suite, appelée orbite de x, est x, T(x), T(T(x)), T(T(T(x)))… De ce point de vue, la transformation du chat a des propriétés fascinantes. D’une part les points à coordonnées rationnelles ont des orbites finies (image ci-contre) Orvbite infinie. D’autre part, presque tout point irrationnel a une orbite uniformément répartie dans le carré : cela signifie que la proportion du temps que cette orbite passe dans un rectangle est égale à l’aire de ce rectangle. On dit que T est "ergodique". Cependant, il existe de nombreux points exceptionnels dont l’orbite est infinie mais non uniformément répartie dans le carré.

Dans une série d’articles, Yves Benoist (Laboratoire de mathématiques d’Orsay - CNRS/Université Paris-Sud) et Jean-François Quint (Laboratoire analyse géométrie applications - CNRS/Université Paris-Nord) adoptent un point de vue probabiliste. Ces mathématiciens introduisent une deuxième transformation du chat

T’(x1, x2) = (x1 + x2 mod 1 , x1 + 2x2 mod 1)

et, pour tout point de départ irrationnel x, considèrent l’orbite de x, en choisissant à pile ou face laquelle des deux transformations du chat ils appliquent à chaque étape. Ils montrent alors que l’orbite de x est uniformément répartie dans le carré. Autrement dit, pour les orbites aléatoires, il n’y a pas de point exceptionnel !

Leur démarche s’étend aux transformations linéaires des tores de dimension d >1 et, plus généralement, aux actions sur les espaces homogènes de volume fini comme par exemple l’espace X = SL(d, R)/SL(d, Z) des réseaux de covolume 1 de R^d. Cela leur permet de démontrer que, quand le groupe engendré par la marche aléatoire est "Zariski-dense", les trajectoires aléatoires infinies sur X sont équidistribuées. En particulier, toute orbite infinie du groupe est dense dans X. Il est remarquable que cette propriété de densité des orbites ne puisse pas, à l’heure actuelle, être démontrée sans ce point de vue probabiliste.

Contacts :

- Yves BENOIST (LMO - UMR 8628 CNRS/Université Paris-Sud)
- Jean-François QUINT (LAGA - UMR 7539 CNRS/Université Paris-Nord)

Références :

- [1] Y. Benoist, J.-F. Quint, Mesures stationnaires et fermés invariants des espaces homogènes. Annals of Mathematics Pages 1111-1162, volume 174-2 (2011)
- [2] Y. Benoist, J.-F. Quint, Random walks on finite volume homogeneous spaces. Inventiones Mathematicae (2011)

Yves Benoist et Jean-François Quint sont lauréats du prix Clay 2011.


[1] Le nom d’application « chat » provient d’un jeu de mot anglais : « chat » se dit « cat » en anglais, et Arnold utilisait ce mot comme acronyme de « Continuous Automorphisms of the Torus » (automorphismes continus du tore).