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Autant pour la droite que pour la gauche

16 février 2012

La géométrie diophantienne consiste à se donner des équations polynomiales et à en chercher les solutions entières ou rationnelles. Pour les surfaces de Châtelet, d’équation y^2 + z^2 = t^3 - t, on sait qu’il existe une infinité de solutions rationnelles et on étudie alors les solutions dont la taille, en un sens mathématique précis, est bornée. Un programme de recherche lancé par Y. Manin vers 1989 fournit une formule conjecturale donnant une estimation du cardinal de cet ensemble. Dans un article récent publié dans Annals of Mathematics, Régis de la Bretèche (CNRS/Université Paris Dauphine/UPMC), Tim Browning (University of Bristol) et Emmanuel Peyre (CNRS/Université Joseph Fourier Grenoble 1) démontrent cette formule pour de telles surfaces de Châtelet.

Les spécialistes de théorie des nombres aiment évoquer le nom de Diophante pour souligner l’antiquité de leur domaine d’étude. La géométrie diophantienne consiste à se donner des équations polynomiales telles que l’équation de Fermat x^p + y^p = z^p avec p>2 un nombre entier, ou encore l’équation d’une surface de Châtelet y^2 + z^2 = t^3 - t, et à en chercher les solutions entières ou rationnelles. Pour l’équation de Fermat, l’objectif est de démontrer que les solutions évidentes, pour lesquelles une des trois coordonnées est nulle, sont les seules ; ce résultat difficile, annoncé par Fermat au XVII-ème siècle, fut démontré par A. Wiles en 1994.

Pour les surfaces de Châtelet, on sait qu’il existe une infinité de solutions rationnelles, c’est-à-dire de triplets de nombres rationnels (y, z, t) tels que y^2 + z^2 = t^3 - t. L’objectif est alors l’étude des solutions dont la taille, en un sens mathématique précis, est bornée. La figure ci-dessous représente un tel ensemble de solutions. solutions de l'équation de Châtelet Un programme de recherche lancé par Y. Manin vers 1989 fournit une formule conjecturale donnant une estimation du cardinal de cet ensemble. Un des intérêts de cette formule, démontrée dans de nombreux cas, est de faire intervenir des invariants géométriques de la surface considérée.

Dans un article récent publié dans Annals of Mathematics, Régis de la Bretèche (CNRS/Université Paris Dauphine/UPMC), Tim Browning (University of Bristol) et Emmanuel Peyre (CNRS/Université Joseph Fourier Grenoble 1) démontrent cette formule pour de telles surfaces de Châtelet. Une des difficultés de ce cas provient du fait que, comme on le voit sur la figure, les solutions réelles forment une surface à deux composantes. La démonstration prouve aussi que, dans le cas de la figure ci-dessus, le décompte est le même pour les parties droite et gauche.

Référence :

Régis de la Bretèche, Tim Browning, Emmanuel Peyre. On Manin’s conjecture for a family of Châtelet surfaces Annals of Mathematics 175, 2012

Contacts :

Régis de la Bretèche - Institut de Mathématiques de Jussieu (CNRS/Université Paris Dauphine/UPMC)

Emmanuel Peyre - Institut Fourier (CNRS/Université Joseph Fourier Grenoble 1)

Tim Browning (University of Bristol)