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Simulation d’avalanches de neige

14 mars 2012

Fort inspirés par le cadre naturel de la région, des chercheurs en mathématiques appliquées du LAMA (CNRS/Université de Savoie) ont récemment réexaminé un modèle mathématique utilisé pour décrire la propagation des avalanches de neige poudreuse [1].

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Simulation de la fraction volumique

Le point de départ est les fameuses équations de Navier-Stokes qui en mécanique des fluides décrivent le mouvement d’un fluide visqueux newtonien. Lorsqu’on veut modéliser des avalanches de neige poudreuse, un des modèles consiste à inclure la description de deux fluides en écoulement simultané : l’air pur (le fluide léger) et la suspension des particules de neige (le fluide lourd). On obtient alors un modèle constitué principalement d’une équation de conservation de la masse, d’équations de conservation de quantité de mouvement et d’une contrainte de type loi de Fick traduisant le caractère quasi-incompressible du mélange. De tels systèmes ont déjà été simulés (voir [2]).

Dans la lignée de travaux théoriques [3], C. Acary-Robert, D. Dutykh et D. Bresch considèrent une équation de conservation de quantité de mouvement tenant compte d’une viscosité dynamique de mélange (dépendant ainsi de la densité). Cette viscosité est adaptée à un changement de variable en vitesse qui donne alors, sans simplification aucune, un système qui assure la dissipation d’énergie, contrairement aux modèles utilisés précédemment. Cette modification entraine de plus des changements notables dans les résultats numériques, et donc l’aide à la décision, notamment dans les régions à fort gradient de densité (voir les figures ci-dessous).

Simuler un écoulement hétérogène lié aux avalanches et plus généralement à tout phénomène à fort panache n’est donc pas chose simple. Améliorer la modélisation va de pair avec l’amélioration des schémas numériques pour ce type d’écoulement. Le lecteur intéressé par un article de vulgarisation sur les avalanches de neige est renvoyé à l’article [4] qui devrait lui permettre de se rendre compte de la complexité du phénomène et de l’importance d’une interaction physique-mathématiques, expériences et théorie. Citons également deux groupes de physiciens de l’arc alpin travaillant autour des avalanches : celui lié à C. Ancey (Lausanne) [5] et celui lié à M. Naaim et H. Naaim-Bouvet (IRSTEA, anciennement CEMAGREF).

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À gauche : fraction volumique à différents pas de temps (0.3s en haut, 0.9s. au milieu et 1.2s en bas). À droite : différence entre la simulation de référence et la simulation du système modifié aux mêmes pas de temps.

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À gauche : magnitude à différents pas de temps (0.3s en haut, 0.9s. au milieu et 1.2s en bas). À droite : différence entre la simulation de référence et la simulation du système modifié aux mêmes pas de temps.

On peut constater que les différences entre la simulation de référence (équations de Navier-Stokes classiques) et la simulation du système d’équations modifiées ne sont pas négligeables, aussi bien en ce qui concerne la fraction volumique que la vitesse du mélange air/neige. Elles sont de plus principalement situées dans les zones de forts gradients de densité.

Références :

[1] D. Dutykh, C. Acary-Robert, D. Bresch. Mathematical modeling of powder-snow avalanche flows. Studies in Applied Mathematics, 127(1), 38—66, (2011).

[2] J. Etienne, P. Saramito, E.J. Hopfinger. Numerical simulations of dense clouds on steppe slopes : applicaton to powder-snow avalanches, annals of glaciology, 38, (2004).

[3] D. Bresch, E.H. Essoufi, M. Sy. Effect of density dependent viscosities on multiphasic incompressible fluid models. J. Math. Fluid. Mech, 9, 3, 377-397, (2007).

[4] Céline Acary-Robert, Denys Dutykh et Marguerite Gisclon, « Une approche pour simuler des avalanches de neige » — Images des Mathématiques, CNRS, 2011. En ligne

[5] C. Ancey. Dynamique des avalanches. PU Polytech 2006.

Contacts :

- C. Acary-Robert - LAMA (CNRS/Université de Savoie)
- D. Bresch - LAMA (CNRS/Université de Savoie)
- D. Dutykh - LAMA (CNRS/Université de Savoie)