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Stabilité des modèles galactiques

25 juin 2012

Récemment, trois mathématiciens ont obtenu un résultat marquant qui concerne un problème célèbre de l’astrophysique, la stabilité de modèles galactiques. Plus précisément, ils ont démontré la stabilité de configurations de galaxies modélisées par des équations aux dérivées partielles issues de la théorie cinétique.

Leur travail a été publié en 2012 dans la revue Inventiones Mathematicae et a fait l’objet en novembre 2011 d’une présentation au séminaire Bourbaki par Clément Mouhot. Pour situer le contexte de ce travail, nous proposons de reprendre une partie de l’introduction du texte associé à ce séminaire Bourbaki.

La question se formule très simplement : si l’on considère un ensemble d’un très grand nombre d’étoiles en interaction gravitationnelle (le rôle joué par les planètes dans la dynamique est négligé au premier ordre car leurs masses sont bien plus petites que celles des étoiles), dont la cohérence est assurée par leur attraction réciproque et que l’on considère en première approximation comme un système fermé, quelles sont les répartitions statistiques stables au cours du temps ? Autrement dit, quelles sont les configurations de galaxies observables dans notre univers ?

Ce problème semble à première vue tout autant insoluble que le problème à N corps de Newton. Comment formuler des prédictions à long terme sur un système de 1011 corps (c’est l’ordre de grandeur du nombre d’étoiles dans notre galaxie), alors même que l’on ne sait pas résoudre de manière satisfaisante le problème à 3 corps ! C’est ici que la mécanique statistique entre en jeu.

En suivant les idées de Maxwell et de Boltzmann, on peut tenter de décrire de manière statistique l’évolution de nos N corps lorsque N tend vers l’infini et que les corps sont suffisamment “peu corrélés”, à travers une équation aux dérivées partielles non-linéaire sur la répartition d’un corps typique. Cette approche a d’abord été appliquée aux cas de gaz collisionnels pour donner la célèbre équation de Boltzmann. Cependant, les collisions entre étoiles dans une galaxie sont quasi absentes et l’interaction se fait essentiellement à distance via le champ gravitationnel. Dans les années 1930, Vlasov a découvert comment effectuer la limite lorsque N tend vers l’infini dans ce cas “non-collisionnel” afin d’obtenir des équations aux dérivées partielles non-linéaires dites de “champ moyen”. La plus célèbre d’entre elles est l’équation de Vlasov-Poisson dans sa version gravitationnelle. Cette équation de transport non-linéaire décrit avec une excellente précision l’évolution de systèmes stellaires sur de grandes échelles de temps. Ainsi, lorsque le nombre de corps est grand et que les corrélations sont faibles, on peut espérer formuler des prédictions de stabilité à partir de l’étude de l’équation de Vlasov-Poisson. C’est le physicien russe Antonov qui, le premier, découvre dans les années 1960 comment résoudre le problème de la stabilité, mais uniquement dans un cadre linéarisé. Il démontre ainsi la stabilité linéarisée des modèles galactiques sphériques et monotones en l’énergie microscopique pour des petites perturbations. Cependant, l’équation de Vlasov-Poisson est réversible en temps, non dissipative, et ses solutions montrent des oscillations en temps grand ; rien ne garantit a priori que l’étude de stabilité linéarisée d’Antonov implique la stabilité non-linéaire recherchée. C’est cette conjecture de stabilité non-linéaire, ouverte depuis quelques décennies, que viennent de démontrer Lemou, Méhats et Raphael, à la suite de nombreux travaux antérieurs (Dolbeault, Guo, Hadzic, Lin, Rein, Sánchez, Soler, Wan, Wolansky).

Références

Mohammed Lemou, Florian Méhats and Pierre Raphaël. Orbital stability of spherical galactic models. Inventiones Mathematicae Volume 187, Number 1 (2012), 145-194. Hal


Contacts Chercheurs :
Mohammed Lemou et Florian Méhats
Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR)
CNRS : UMR6625 – Université de Rennes 1 – École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan – INSA Rennes – Université Rennes II

Pierre Raphaël
Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT)
Université Paul Sabatier - Toulouse III – Université Toulouse le Mirail - Toulouse II – Université des Sciences Sociales - Toulouse I – Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse – CNRS : UMR5219