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Comment reconnaître une bouée déformée ?

15 juin 2012

Dans les années 1950, le mathématicien Armand Borel s’est demandé si, sous certaines hypothèses techniques, le groupe fondamental d’une variété la déterminait entièrement, un peu comme les empreintes digitales permettent de reconnaître sans ambiguïté un individu dans une population. On sait que c’est le cas en dimension 2 et 3. Dans un article à paraître dans Inventiones, Erik Guentner (Université de Hawaï), Romain Tessera (CNRS/ENS Lyon) et Guoliang Yu (Université de Vanderbilt, Nashville) montrent que sous certaines hypothèses, la connaissance du groupe fondamental d’une variété de grande dimension fournit bien une information presque complète sur cette variété.

La notion de variété, introduite par Bernhard Riemann au XIXe siècle, généralise celle de courbe et de surface en toute dimension. Intuitivement, une variété de dimension d est un objet géométrique qui, localement, ressemble à l’espace de dimension d. Par exemple la surface de la terre, appelée la sphère, est une variété de dimension 2, car en s’en approchant de très près, on finit par la confondre avec un plan. N’a-t-on en effet pas cru pendant des siècles que la terre était plate ! Un autre exemple est la surface d’une bouée pour enfant. On peut aussi imaginer des bouées à plusieurs trous, celles-ci définissant autant de variétés de dimension 2 distinctes. Bouée à trous

La première notion attachée à une variété est sa dimension ; elle désigne le nombre de paramètres indépendants qu’il faut se fixer pour positionner localement un point sur la variété. Les courbes sont des variétés de dimension un puisque l’abscisse curviligne par exemple suffit à décrire la position. Sur une surface, il faut deux coordonnées : ainsi sur une sphère il faudra préciser latitude et longitude, comme c’est le cas pour indiquer l’emplacement d’une ville sur le globe terrestre. Il est plus difficile de décrire graphiquement les variétés de dimension supérieure. Elles ne peuvent en effet se représenter dans notre espace environnant, qui est de dimension trois (largeur, longueur, hauteur). Elles jouent néanmoins un rôle crucial en physique où le nombre de paramètres des systèmes étudiés peut être très grand.

La topologie est une discipline des mathématiques étudiant les variétés à certaines déformations près. Par exemple pour un topologue, une sphère cabossée est encore une sphère, alors qu’une sphère trouée n’en est plus une. Le problème fondamental de la topologie est de trouver des propriétés des variétés qui sont invariantes par de telles déformations. Comme nous le verrons plus loin sur un exemple, ces « invariants » permettent de distinguer les variétés entre elles.

Un invariant clef, inventé (ou plutôt découvert) par Henri Poincaré au début du siècle dernier, est le « groupe fondamental ». Dans certaines variétés, comme par exemple la sphère, toute courbe fermée peut être déformée jusqu’à être écrasée en un point, et ce sans la casser ni la faire « sortir » de la variété. On dit que le groupe fondamental de la sphère est trivial. Au contraire, une courbe tracée sur la bouée faisant un tour complet autour du trou ne peut pas être rapetissée à volonté : son groupe fondamental n’est donc pas trivial. Notons que derrière cette remarque se cache une démonstration rigoureuse du fait qu’une bouée et une sphère sont, du point de vue de la topologie, des variétés distinctes !

Dans les années 1950, le mathématicien Armand Borel s’est demandé si, sous certaines hypothèses techniques, le groupe fondamental d’une variété la déterminait entièrement, un peu comme les empreintes digitales permettent de reconnaître sans ambiguïté un individu dans une population. On sait depuis longtemps que c’est le cas en dimension 2. En particulier cela répond à la question formulée dans le titre : le groupe fondamental de la bouée, qui ne dépend pas du fait que celle-ci soit ou non déformée, permet de la reconnaître entre toutes les surfaces.

Le cas de la dimension 3, beaucoup plus difficile, découle d’un résultat récent fondamental dû au mathématicien russe Grigori Perelman. En grande dimension, la question de Borel reste un des problèmes ouverts les plus importants de la topologie. Toutefois ces dernières années, de nouvelles approches ont vu le jour, permettant d’y répondre positivement pour des familles importantes de variétés. Ces travaux se basent tous sur une technique qui s’est développée dans la deuxième partie du XXe siècle afin d’étudier la topologie des variétés de grande dimension. Cette technique porte un nom éloquent : la chirurgie. Elle consiste en effet à « opérer » les variétés en leur ôtant des morceaux et en les remplaçant par des morceaux différents. Il faut en effet s’imaginer une variété comme un objet compliqué, que l’on essaie de démonter pièce par pièce afin d’en comprendre la structure. Ces opérations ont ainsi pour but de transformer progressivement la variété initiale en une variété plus simple sans cependant changer sa dimension. Par exemple, si notre variété de départ est une « sphère à anses » comme sur la figure ci-dessous, une opération peut consister à couper les anses puis à boucher les trous par des disques : on obtient alors simplement une sphère. Sphère à anses

Toutefois on se heurte parfois à une « complication » qui empêche ce processus d’aboutir. Paradoxalement, les mathématiciens s’en réjouissent car derrière ces difficultés se cache souvent un nouvel invariant. D’ailleurs, grâce à la chirurgie, il a été possible de reformuler entièrement la question de Borel en termes d’invariants. Cela a permis de sortir du cadre de la topologie et d’utiliser des outils mathématiques inattendus pour traiter efficacement cette question.

Référence

Erik Guentner, Romain Tessera and Guoliang Yu. A notion of geometric complexity and its application to topological rigidity. À paraître dans Inventiones, 2012. Arxiv

Contact

Romain Tessera - Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (UMR CNRS/ENS)

Crédits images : Oleg Alexandrov (en accès libre ici et ici)