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De l’analyse microlocale aux tourbillons océaniques

22 juin 2012

2013 sera l’année des mathématiques de la planète Terre. Cela met en lumière les nouveaux défis proposés aux mathématiciens par la modélisation en géosciences.

Étant donnée la complexité des systèmes en jeu, il est crucial de comprendre et d’isoler les mécanismes qui conduisent à la formation de structures stables. Un premier résultat dans ce sens a été obtenu récemment par Christophe Cheverry (Rennes1/CNRS), Isabelle Gallagher (Paris-Diderot/CNRS), Thierry Paul (CNRS/Ecole Polytechnique) et Laure Saint-Raymond (ENS/CNRS).

Des observations expérimentales

La dynamique océanique s’obtient par superposition de plusieurs mouvements : la rotation rigide avec la Terre, des courants à très grande échelle (tels que le Gulf Stream) liés aux variations de température et de topographie, et des plus petites fluctuations dues en particulier au forçage par le vent. À cela s’ajoutent des phénomènes exceptionnels de type tsunamis liés à l’activité sismique de la Terre qui ne seront pas discutés ici.

Une description précise de la circulation océanique est fondamentale pour la compréhension de la vie marine, mais aussi pour certaines activités humaines telles que la navigation ou la pêche.

Dans 1, les auteurs proposent une modélisation mathématique des vortex océaniques observés notamment dans l’Atlantique qui abritent des écosystèmes particulièrement intéressants. Cette approche théorique ne fournit pas de prédictions quantitatives, mais elle permet d’identifier les principaux mécanismes en compétition.

Des « prototypes mathématiques »

Le point de départ de leur étude est un modèle épuré, i.e. le modèle le plus simple possible présentant la bonne phénoménologie.

Sous l’hypothèse que le phénomène est complètement dynamique et qu’on peut négliger les effets dus aux variations de densité, de température et de salinité de l’eau, ainsi que la structure verticale de la circulation (la profondeur des océans étant très faible comparée à leur étendue horizontale), les seules inconnues du problème sont la vitesse locale (bidimensionnelle) et la hauteur d’eau, qui sont elles-mêmes de petites fluctuations autour de leur valeurs moyennes (les courants à grande échelle sont supposés connus).

L’évolution est alors régie par un système d’équations aux dérivées partielles traduisant la conservation de la quantité d’eau, et l’accélération des masses d’eau par la pression hydrostatique, la friction avec le vent et la rotation de la Terre (force de Coriolis).

Des paramètres sans dimension obtenus à partir de mesures expérimentales permettent de mesurer les effets relatifs de ces mécanismes, et d’en garder trace dans les équations.

Des outils d’analyse sophistiqués

À ce stade, les équations sont tellement simplifiées qu’on pourrait presque en calculer – analytiquement ou numériquement – les solutions par superposition d’ondes. Néanmoins, en raison du nombre important de paramètres (valeurs locales de la vitesse moyenne d’écoulement et de la fréquence de forçage), les formules obtenues sont beaucoup trop complexes pour permettre une visualisation rapide de la géométrie de l’écoulement. Les auteurs introduisent donc un filtre 1. L’idée intuitive sous-jacente est qu’il est inutile de garder une résolution très élevée pour obtenir une image nette de taille donnée. Ce type de méthodes séparant les échelles a de très nombreuses expressions et ramifications en mathématiques et en physique. Elles ont fait en particulier l’objet de développements importants dans un tout autre contexte (et sur de toutes autres échelles !) pour comprendre la transition entre mécanique quantique et mécanique classique.

Ici une difficulté majeure provient du fait que les différentes ondes créées par le vent ont des comportements très variés et ne peuvent pas être analysées par le même filtre.
- Les structures tourbillonnaires sont directement liées aux ondes quasi-géostrophiques, dites de Rossby, qui se propagent à une vitesse comparable à celle de l’écoulement et qui sont décrites très précisément dans 1.
- I. Gallagher, T. Paul et L. Saint-Raymond ont par ailleurs montré que les ondes de Poincaré, beaucoup plus rapides, ne contribuent pas à la dynamique sur les échelles de temps considérées 2.

L’originalité de cette série de travaux est donc d’obtenir un bon outil de polarisation, i.e. une façon systématique de sélectionner les ondes de Rossby, et plus particulièrement celles qui forment des vortex.

Un jeu de construction

Il reste maintenant à tester la robustesse de cet outil pour savoir s’il peut apporter une réponse satisfaisante dans le contexte océanographique, i.e. pour des modèles plus réalistes prenant en compte par exemple la topographie des fonds sous-marins et les mouvements verticaux en résultant (upwelling), les flux liés aux gradients de température, voire même le couplage air/mer.

De tels systèmes sont extrêmement complexes, et leur étude nécessite d’ajouter les nouveaux éléments un par un pour bien comprendre comment ils modifient la dynamique. La question est donc loin d’être close….

Références

[1] Christophe Cheverry, Isabelle Gallagher, Thierry Paul, and Laure Saint-Raymond, Semiclassical and spectral analysis of oceanic waves, Duke Math. J., Vol. 161, No. 5, © 2012. Arxiv

[2] Isabelle Gallagher, Thierry Paul, and Laure Saint-Raymond, On the Propagation of Oceanic Waves Driven by a Strong Macroscopic Flow, H. Holden, K.H. Karlsen (eds.), Nonlinear Partial Differential Equations, Abel Symposia 7, DOI 10.1007/978-3-642-25361-4_13, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012. Arxiv

Contact

Laure Saint-Raymond - Département de mathématiques et applications (UMR CNRS-ENS) et Laboratoire Jacques-Louis Lions (UMR CNRS-UPMC)