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Décrire les fréquences propres d’un espace hyperbolique

10 octobre 2012

Comment vibre un espace géométrique abstrait ? Une conjecture vieille de vingt ans sur les fréquences propres de l’opérateur de Laplace vient d’être démontrée.

Lorsqu’on frappe un tambour, le son obtenu est une somme de plusieurs sons purs, chacun défini par une fréquence propre. Les fréquences propres se calculent à l’aide de l’« opérateur de Laplace » (ou « laplacien »), qui est un outil fondamental pour analyser les solutions d’équations aux dérivées partielles décrivant des systèmes physiques.

Que deviennent les fréquences propres du laplacien lorsque le tambour est remplacé par un espace mathématique abstrait, de dimension quelconque ? Des exemples importants sont les « espaces hyperboliques de congruence », qui sont des espaces non-euclidiens (1), compacts (2), et dont les propriétés de symétrie sont liées à des objets issus de l’arithmétique. Burger, Li et Sarnak ont conjecturé en 1992 que, dans les espaces hyperboliques de congruence, il est possible de décrire entièrement les premières fréquences propres du laplacien, qui sont donc entièrement « quantifiées », et que celles-ci ne dépendent que de la dimension de l’espace, et non de sa forme. C’est cette conjecture que Nicolas Bergeron et Laurent Clozel viennent de démontrer pour l’essentiel. Par exemple, en dimension impaire d = 2m+1, les premières fréquences propres sont 0, m2–(m–1)2, m2–(m–2)2,…, m2.

Pour obtenir leurs résultats, les auteurs se sont notamment appuyés sur les grands progrès de ces trente dernières années de la théorie des « formes automorphes », dans laquelle se sont notamment illustrés James Arthur (Toronto) et Ngô Bao Châu (Chicago), qui a reçu la médaille Fields en 2010.


Notes

1 Dans un espace non-euclidien, l’axiome selon lequel par un point donné passe une seule parallèle à une droite donnée est faux. Lorsque l’espace est hyperbolique, un point étant donné, il existe plusieurs parallèles à une « droite » (on parle de géodésique) donnée.

2 Dans un espace compact, tout voyageur se déplaçant droit devant lui finit toujours par se retrouver arbitrairement près de sa position initiale. C’est par exemple le cas sur un tore (la surface définie par une chambre à air).


Références

Nicolas Bergeron and Laurent Clozel. Quelques conséquences des travaux d’Arthur pour le spectre et la topologie des variétés hyperboliques


Contacts

Nicolas Bergeron, UMR7586 Institut de mathématiques de Jussieu (IMJ)
Laurent Clozel, UMR8628 Laboratoire de mathématiques d’Orsay (LMO)