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À propos du programme de Kac en théorie cinétique

2 novembre 2012

À l’échelle microscopique, la dynamique d’un gaz peu dense dont les molécules n’interagissent que par collisions est celle de Newton, réversible. À l’échelle macroscopique en revanche, c’est l’équation de Boltzmann qui intervient, et celle-ci est irréversible. L’entropie croît au cours du temps et la distribution statistique du gaz tend vers un état d’équilibre de Maxwell. Comment réconcilier ces deux perspectives ?

Dans un article précurseur de 1956 traitant de cette question alors déjà ancienne [1], Mark Kac propose une autre approche : il pose les bases mathématiques de la notion de chaos moléculaire et introduit une marche aléatoire pour le mécanisme de collision dont la limite formelle lorsque le nombre de particules tend vers l’infini est (un modèle simplifié de) l’équation de Boltzmann. Il pose alors trois questions qui forment le « programme de Kac » :

(1) Est-il possible de prouver la propagation du chaos pour des modèles physiquement réalistes ?

(2) Est-il possible de montrer que le retour vers l’équilibre, vrai pour un nombre fini de particules, a lieu avec un taux de relaxation uniforme par rapport au nombre de particules ? (Kac espérait en déduire un taux de retour vers l’équilibre pour l’équation de Boltzmann limite.)

(3) Est-il possible d’obtenir le « théorème H » de Boltzmann (sur la croissance de l’entropie au fil du temps) à partir de la description microscopique du système ?

Une avancée marquante concernant ce programme vient d’être faite par Stéphane Mischler et Clément Mouhot [2]. Leur travail démontre premièrement une propagation du chaos uniforme en temps pour le modèle de Boltzmann des sphères dures et des collisions de Maxwell à travers une nouvelle approche entièrement quantitative. Celle-ci permet de répondre à la deuxième question de Kac, mais à rebours de ce que Kac imaginait : la réponse s’appuie sur un résultat de retour à l’équilibre de l’équation de Boltzmann, connu aujourd’hui mais qui ne l’était pas en 1956. Ce travail démontre troisièmement que l’entropie de la solution de l’équation de Boltzmann est la limite des entropies des systèmes de particules, et permet donc pour la première fois de dériver le théorème H de Boltzmann à partir de, et uniquement de, considérations sur la dynamique microscopique.

Ce travail, qui utilise des outils issus de nombreux domaines (analyse des équations aux dérivées partielles, analyse fonctionnelle, probabilités, statistiques, théorie de l’information) met au jour l’importance d’estimations de propagation de régularité duale au niveau des solutions statistiques de l’équation de Boltzmann et montre comment les exploiter dans un cadre fonctionnel adéquat pour obtenir des démonstrations de consistance-stabilité entre le système de particules et l’équation limite.

Références
[1] Mark Kac, Foundations of kinetic theory. Proceedings of the Third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1954–1955, vol. III, pp. 171–197. University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1956.
[2] Stéphane Mischler, Clément Mouhot, Kac’s program in kinetic theory, Inventiones Mathematicae, online first, 7 septembre 2012.

Contacts

- Stéphane Mischler CEREMADE, Université Paris-Dauphine Place du Maréchal de Lattre de Tassigny F-75775 Paris Cedex 16

- Clément Mouhot Centre for Mathematical Sciences, University of Cambridge Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, UK