Décrire la frontière d’un milieu hétérogène

4 décembre 2012

Une difficulté dans l’étude des matériaux est leur hétérogénéité : des propriétés telles que la conduction thermique d’un composite ou la perméabilité d’un matériau poreux fluctuent beaucoup, même sur des distances très courtes. La simulation informatique de ces fluctuations resserrées est impossible, car la finesse des grilles de calcul est trop limitée.

La théorie de l’homogénéisation, développée depuis les années 1970, vise à résoudre ce problème. Son but est d’obtenir un modèle homogène, c’est-à-dire sans fluctuations, ayant des caractéristiques moyennes identiques à celles du matériau hétérogène. Concrètement, le matériau est modélisé par une équation aux dérivées partielles assortie d’un paramètre dont la valeur, petite, représente l’échelle spatiale des fluctuations. Le défi mathématique est alors de comprendre ce qui se passe lorsque le paramètre devient de plus en plus petit, de sorte à obtenir un modèle homogène, débarrassé des fluctuations mais gardant de la précision.

Si les modèles homogènes limites dits « d’ordre 0 » sont maintenant bien compris, les modèles plus fins, dits « d’ordre 1 », posent encore problème. Une question essentielle consiste à analyser mathématiquement la manière dont les fluctuations interagissent avec le bord du matériau. Ce problème, soulevé en 1978 par Alain Bensoussan, Jacques-Louis Lions et George Papanicolaou, vient de connaître une avancée, publiée par David Gérard-Varet (université Paris-7) et Nader Masmoudi (université de New-York), qui ont obtenu le premier résultat d’homogénéisation pour des fluctuations périodiques réparties à la fois à l’intérieur et au bord du matériau.

L’originalité et la difficulté du théorème tiennent à ce que la périodicité des fluctuations est brisée par le bord, dont la forme est quelconque. Cette brisure empêche d’emblée d’espérer pouvoir obtenir une formule explicite en fonction du petit paramètre. De plus, outre la théorie des équations aux dérivées partielles, la démonstration a recours à la théorie des nombres, ainsi qu’à la théorie ergodique.

David Gérard-Varet, Université Paris-7, Institut de Mathématiques de Jussieu (UMR 7586).
Nader Masmoudi, Université de New-York, Département de mathématiques.

Références
Alain Bensoussan, Jacques-Louis Lions & George Papanicolaou, Asymptotic Analysis for Periodic Structures, North-Holland, 1978.
David Gérard-Varet & Nader Masmoudi, « Homogeneization and Boundary Layers », Acta Mathematica 209, 133-178, 2012.

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