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Billards rationnels et groupe de renormalisation

11 janvier 2013

Le billard français (sans trou) se joue habituellement sur une table rectangulaire. Si on y supprime les frottements, la trajectoire (infinie) d’une boule ponctuelle est très simple à décrire. En revanche, cela devient beaucoup plus difficile si la table est de forme polygonale quelconque, ou même triangulaire.

Entre ces deux extrêmes, il existe des cas à la fois riches et accessibles : ceux des tables polygonales dont les angles, exprimés en degrés, sont des nombres rationnels. Pour ces tables-là, un outil mathématique performant est celui de surface de translation : derrière chaque côté du polygone, dupliquons le polygone comme à travers un miroir, et recommençons pour chaque nouveau côté. Le fait que les angles soient rationnels impose que ces duplications successives, qui peuvent s’empiler les unes sur les autres, auront une fin (c’est-à-dire qu’on finira par ne plus obtenir de polygone qui n’ait pas déjà été matérialisé). L’ensemble obtenu est la surface de translation, qui contient toute l’information nécessaire à l’étude du billard initial tout en étant beaucoup plus facile à étudier. En particulier, la trajectoire d’une boule sur cette surface est une simple demi-droite, et non une ligne brisée comme sur le polygone initial.

Pour comparer les billards, on considère un ensemble de surfaces de translations, appelé plutôt espace de modules, et l’on cherche à déterminer lesquelles de ces surfaces ont des propriétés communes. L’outil central pour cela est le groupe de renormalisation, qui permet de transformer une surface de translation en une autre. Dans un article récent, Artur Avila et Sébastien Gouëzel apportent une contribution importante à l’étude du groupe de renormalisation, en expliquant à quelle vitesse il "mélange" les surfaces de translation, et donc dans quelle mesure les surfaces de translation d’une même famille ont tendance à avoir un comportement comparable.

Des résultats étaient déjà connus dans le cas particulier de surfaces de translations très symétriques (comme celles déduites de polygones réguliers), car l’espace de modules est alors une surface hyperbolique, un objet mathématique bien connu. L’avancée réalisée est une généralisation d’un résultat classique sur ces surfaces hyperboliques, mais en dimension plus grande. Le peu de degrés de liberté offert par le groupe de renormalisation pour passer d’une surface de translation à une autre explique la difficulté, mais aussi l’importance, des résultats obtenus. En particulier, cette limitation imposée par le groupe de renormalisation excluait l’emploi de techniques analytiques (reposant sur l’étude du laplacien), qui ont dû être remplacées par des techniques provenant des systèmes dynamiques.

Références
Artur Avila and Sébastien Gouëzel, Small eigenvalues of the Laplacian for algebraic measures in moduli space, and mixing properties of the Teichmüller flow

Contacts
Artur Avila, UMR7586 Institut de mathématiques de Jussieu (IMJ) et UMI 2294 IMPA Rio de Janeiro
Sébastien Gouëzel, UMR 6625 IRMAR, Université de Rennes 1.