Laboratoires de l’INSMI par régionL’équation de Schrödinger décrit le mouvement d’une particule massive dans le cadre de la mécanique quantique, de la même manière que les équations de Newton le font dans le cadre de la mécanique classique. La variante non-linéaire de l’équation de Schrödinger (SNL) permet de modéliser une très grande quantité de phénomènes physiques. Pour cette dernière, dans certains cas, on peut se contenter d’en étudier les solutions dont la limite est zéro, ce qui a donné lieu à beaucoup de recherches ces dernières décennies. Toutefois, dans beaucoup de domaines comme la supraconductivité, la superfluidité, les transitions de phase ou l’optique non-linéaire, des conditions non-nulles à l’infini apparaissent naturellement. C’est notamment le cas pour l’étude du condensat de Bose-Einstein, dont l’existence a été prédite par la théorie dès 1925 avant d’être vérifiée expérimentalement seulement en 1995.
Les conditions non nulles à l’infini engendrent une dynamique incomparablement plus riche que dans le cas des solutions qui tendent vers zéro. Elles permettent l’existence de familles importantes de solutions spéciales, comme les vortex (tourbillons) et les ondes progressives. Ces dernières sont des structures localisées (des « bosses » ou des « trous ») qui se propagent dans un milieu de densité supposée constante à l’infini.
Dans une longue série de travaux, les physiciens J. Grant, C.A. Jones, S.J. Putterman, P.H. Roberts et al. avaient étudié formellement et numériquement ces conditions non-nulles à l’infini. Leurs travaux ont conduit à la formulation d’un ensemble de conjectures, le programme de Roberts, sur l’existence, les propriétés structurelles et la stabilité de ces solutions. Malgré les nombreux efforts de ces vingt dernières années, une partie importante de ces conjectures résiste toujours.
Dans une publication récente, Mihai Maris (Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR 5219) vient de démontrer une nouvelle partie des conjectures du programme de Roberts. Celle-ci porte sur l’observation que des ondes progressives d’énergie finie existent uniquement pour des vitesses inférieures à la vitesse du son à l’infini dans le milieu de propagation. La démonstration complète de cette conjecture en dimension supérieure ou égale à trois fait suite de nombreux résultats partiels antérieurs (F. Bethuel, D. Chiron, P. Gravejat, Z. Lin, G. Orlandi, J.-C. Saut, D. Smets), et repose sur la théorie des équations aux dérivées partielles et le calcul des variations. Notons qu’en dimension deux, le problème de l’existence pour toute vitesse subsonique reste encore ouvert.
Références :
1. C. A. Jones, P. H. Roberts, Motions in a Bose condensate : IV. Axisymmetric solitary waves, J. Phys. A : Math. Gen. Vol. 15 (1982), pp. 2599-2619.
2. M. Maris, Traveling waves for nonlinear Schrödinger equations with nonzero conditions at infinity, à paraître dans Annals of Mathematics, Vol. 178, no. 1, 2013.
Contact :
Mihai MARIS, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR 5219, Université Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 9, France.