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Une version arithmétique de l’analyse complexe

23 avril 2013

Les fonctions définies par des séries ont une interprétation naturelle dans le plan complexe. Une étude approfondit l’interprétation correspondante pour les séries issues de l’arithmétique.

Une fonction (numérique) associe à chaque nombre x un autre nombre f(x), selon une règle prédéfinie. Un type de règle courant est celui des fonctions polynomiales, dans lesquelles f(x) s’obtient en combinant x et ses premières puissances, comme dans l’expression 3x^{4} - 5x^{2} + √3x+ √2. Les expressions 3x^{4}, –5x^{2}, √3 x et √2 sont les termes de la fonction, les valeurs 3, -5, √3 et √2 en sont les coefficients. Les fonctions polynomiales n’étant pas suffisantes, même dans des cas simples, une façon d’aller plus loin consiste à définir des séries entières, fonctions définies par une infinité de termes.
L’importance des séries entières tient au fait qu’elles caractérisent exactement les fonctions analytiques, c’est-à-dire que les séries entières recouvrent exactement l’ensemble des fonctions dérivables dans le cadre des nombres complexes. Une autre façon de le dire est la suivante : pour étudier les séries entières, l’ensemble des nombres complexes est bien adapté, car il fournit le cadre dans lequel ces séries correspondent à une propriété très naturelle.
En arithmétique, l’on est amené à considérer une partie seulement de l’ensemble des séries entières : celles qui sont à coefficients entiers. L’on aimerait alors disposer d’un support géométrique adapté, un espace sur lequel les fonctions soient exactement celles qui nous intéressent, à l’image de l’ensemble des nombres complexes pour les séries entières en général.
Le fait que les séries à coefficients entiers soient moins nombreuses impose que le support soit plus gros que pour les séries entières quelconques. La solution date de la fin des années 80, où Vladimir G. Berkovich a découvert un espace adapté. Cet espace regroupe, outre les nombres complexes (qui forment un plan), des espaces que l’on appelle « p-adiques », qui ont, eux, une structure d’arbre. Il est très difficile de comprendre comment toutes ces parties s’agencent pour former un seul et même espace.
Dans un article récent, Jérôme Poineau étudie ces espaces et leurs analogues en dimension supérieure (c’est-à-dire lorsque les séries dépendent de plusieurs paramètres et non du seul x). Il démontre que ceux-ci possèdent localement les mêmes bonnes propriétés que les espaces analytiques complexes et qu’il est donc possible d’y faire de la géométrie comme on en a l’habitude. En particulier, ces espaces peuvent toujours être définis par un nombre fini d’équations, il existe pour eux une "bonne" notion de dimension, et le principe du prolongement analytique y est valable.

Références
Jérôme Poineau. La droite de Berkovich sur Z. Astérisque n°334 (2010)
Jérôme Poineau. Espaces de Berkovich sur Z : étude locale. Inventiones mathematicae.
À paraître.

Contact
Jérôme Poineau - Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501 (université de Strasbourg).