Laboratoires de l’INSMI par régionUne fonction (numérique) associe à chaque nombre x un autre nombre f(x), selon une
règle prédéfinie. Un type de règle courant est celui des fonctions polynomiales, dans
lesquelles f(x) s’obtient en combinant x et ses premières puissances, comme dans l’expression 
. Les expressions 
, 
, √3 x et √2 sont les termes de la
fonction, les valeurs 3, -5, √3 et √2 en sont les coefficients. Les fonctions polynomiales
n’étant pas suffisantes, même dans des cas simples, une façon d’aller plus loin consiste à
définir des séries entières, fonctions définies par une infinité de termes.
L’importance des séries entières tient au fait qu’elles caractérisent exactement les
fonctions analytiques, c’est-à-dire que les séries entières recouvrent exactement
l’ensemble des fonctions dérivables dans le cadre des nombres complexes. Une autre
façon de le dire est la suivante : pour étudier les séries entières, l’ensemble des nombres
complexes est bien adapté, car il fournit le cadre dans lequel ces séries correspondent à
une propriété très naturelle.
En arithmétique, l’on est amené à considérer une partie seulement de l’ensemble des
séries entières : celles qui sont à coefficients entiers. L’on aimerait alors disposer d’un
support géométrique adapté, un espace sur lequel les fonctions soient exactement celles
qui nous intéressent, à l’image de l’ensemble des nombres complexes pour les séries
entières en général.
Le fait que les séries à coefficients entiers soient moins nombreuses impose que le
support soit plus gros que pour les séries entières quelconques. La solution date de la fin
des années 80, où Vladimir G. Berkovich a découvert un espace adapté. Cet espace
regroupe, outre les nombres complexes (qui forment un plan), des espaces que l’on
appelle « p-adiques », qui ont, eux, une structure d’arbre. Il est très difficile de comprendre
comment toutes ces parties s’agencent pour former un seul et même espace.
Dans un article récent, Jérôme Poineau étudie ces espaces et leurs analogues en
dimension supérieure (c’est-à-dire lorsque les séries dépendent de plusieurs paramètres
et non du seul x). Il démontre que ceux-ci possèdent localement les mêmes bonnes
propriétés que les espaces analytiques complexes et qu’il est donc possible d’y faire de la
géométrie comme on en a l’habitude. En particulier, ces espaces peuvent toujours être
définis par un nombre fini d’équations, il existe pour eux une "bonne" notion de dimension,
et le principe du prolongement analytique y est valable.
Références
Jérôme Poineau. La droite de Berkovich sur Z. Astérisque n°334 (2010)
Jérôme Poineau. Espaces de Berkovich sur Z : étude locale. Inventiones mathematicae.
À
paraître.
Contact
Jérôme Poineau - Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501 (université de
Strasbourg).