Laboratoires de l’INSMI par régionUn moyen simple et ancien de définir un objet géométrique dans l’espace consiste à le construire à l’aide d’équations algébriques. Par exemple, l’ensemble des points de coordonnées (x, y, z) tels que 
est un paraboloïde de révolution, la forme de base des antennes "paraboliques" qui nous permettent de capter la télévision par satellite.
Un procédé plus général consiste à se placer dans un espace de dimension quelconque, n, de considérer les points qui satisfont une ou plusieurs équations algébriques et de prendre l’intersection avec une boule. L’objet obtenu possède un bord. Celui-ci peut être assez simple (un simple cercle, ou une ellipse pour le paraboloïde), ou plus exotique. Par exemple, dans l’espace complexe à deux dimensions (qui correspond à un espace à 4 dimensions muni d’une structure algébrique supplémentaire), l’objet défini par 
et intersecté avec la boule unité a pour bord un nœud de trèfle.
En chacun de ses points, notre paraboloïde du début possède un "plan tangent", c’est-à-dire un plan qui "colle" à la surface au point considéré. Dans le cas général, on parle d’espace tangent. Si l’espace initial est un espace vectoriel complexe, alors chaque espace tangent au bord de l’objet obtenu contient un hyperplan qui est un sous-espace vectoriel complexe, on a donc un champ d’hyperplans. Le type de construction utilisé (qui produit des variétés algébriques, ou plus généralement, symplectiques) impose une certaine structure à ce champ. Inversement, partant d’un champ d’hyperplans, peut-on trouver des équations algébriques dont il serait issu par le procédé précédent ?
Comme souvent, les mathématiciens jugent l’intérêt de la question à la sophistication des réponses et aux liens qu’elles entretiennent avec d’autres branches des mathématiques. En dimension 3, les premières réponses ont été obtenues à la fin des année 80 par Misha Gromov et Yasha Eliashberg en mélangeant d’une façon complètement nouvelle des idées de géométrie algébrique et d’équations aux dérivées partielles. Vingt ans plus tard, Klaus Niederkrüger a réussi à pousser ces idées en dimension quelconque. Entre temps, de nombreux développements étaient apparus en dimension 3, notamment en lien avec la physique mathématique via les « théories de jauge ». Ces outils ont révelé des phénomènes plus subtils qui n’avaient aucune correspondance connue en grande dimension.
Dans un article à paraître prochainement, Patrick Massot, Klaus Niederkrüger et Chris Wendl ont montré l’existence de ces phénomènes en grande dimension en passant par des constructions de nature arithmétique. En particulier, tout sous-corps des nombres réels qui est de dimension finie n comme Q-espace vectoriel fournit un objet de dimension 2n + 1 portant une famille infinie de champs d’hyperplans qui ne peuvent pas apparaître au bord d’un objet symplectique (par exemple définie par des équations polynomiales).
Références
Weak and strong fillability of higher dimensional contact manifolds par Patrick Massot, Klaus Niederkrüger et Chris Wendl, Inventiones Mathematicae, vol. 192, 2, 287-373, mai 2013.
Contacts
Patrick Massot, UMR8628 Laboratoire de mathématiques d’Orsay
Klaus Niederkrüger, UMR 5219 Institut de Mathématiques de Toulouse
Chris Wendl, University College London