Une version géométrique de la conjecture des périodes

20 juin 2013

Une question centrale en théorie des nombres est la conjecture de Kontsevitch-Zagier, qui porte sur une classe de nombres appelés "périodes". Une version géométrique de cette conjecture, dans laquelle les nombres sont remplacés par des fonctions, vient d’être démontrée.

Parmi les questions mathématiques qui apparaissent aujourd’hui comme les plus difficiles figure la conjecture de Grothendieck et Kontsevitch-Zagier [1], qui porte sur les propriétés d’une classe de nombres appelés « périodes ». Par définition, une période est la moyenne des valeurs prises par une fonction d’un certain type, dite fonction algébrique. Plus précisément, une fonction algébrique $f$ est une fonction qui vérifie une équation algébrique dont les coefficients sont des polynômes à coefficients entiers. Un exemple simple est la fonction $f(x) = 1/ \sqrt {√}(1-x^{2})$ , qui vérifie la relation $(1-x^{2}).f(x)^{2} = 1$ . La période associée est alors l’intégrale de $f$ entre 0 et 1, qui en l’occurrence vaut π/2. (Dans la définition générale, $f$ peut être une fonction de plusieurs variables.)

La conjecture des périodes affirme qu’il n’existe pas de relation « miraculeuse » entre périodes, au sens où les règles ordinaires du calcul intégral, comme par exemple la formule de Stokes, doivent fournir toutes les relations de dépendance algébrique possibles entre elles. Cette conjecture permettrait de montrer beaucoup de résultats sur la transcendance de certains nombres (c’est-à-dire, avec un léger abus, leur propriété de ne pas pouvoir s’exprimer à l’aide des entiers, des quatre opérations et des racines carrées, cubiques, etc.).

Souvent, un énoncé arithmétique, c’est-à-dire qui porte sur des nombres, admet une version géométrique, qui porte sur des fonctions, version qui peut se révéler beaucoup plus accessible. C’est par exemple le cas du Grand Théorème de Fermat, extraordinairement difficile à établir dans sa version arithmétique, mais dont la démonstration est élémentaire (bien qu’astucieuse) dans sa version polynomiale.

Dans un article récent [2], Joseph Ayoub (Université de Zürich et Université Paris-13) formule et démontre une version géométrique de la conjecture des périodes de Grothendieck et Kontsevitch-Zagier. Les nombres y sont remplacés par des « séries de Laurent », c’est-à-dire des fonctions définies par une somme (infinie) de termes faisant intervenir les puissances entières (positives et négatives) d’une variable. Dans ce nouveau contexte, les périodes deviennent des « séries de périodes ». L’article démontre que, conformément à ce que suggère la conjecture originelle, les relations entre séries de périodes se déduisent toutes du calcul intégral élémentaire (essentiellement : la formule de Stokes, plus une autre relation propre à la version géométrique). La démonstration repose principalement sur la théorie des motifs imaginée par Alexandre Grothendieck.

Joseph Ayoub, Institut für Mathematik, Universität Zürich et CNRS, LAGA (UMR 7539), Université Paris-13.

[1] Maxim KONTSEVITCH & Don ZAGIER, « Periods », in Björn Engquist & Wilfried Schmid, Mathematics unlimited - 2001 and beyond, Springer-Verlag, pp. 771-808.

[2] Joseph AYOUB, « Une version relative de la conjecture des périodes de Kontsevitch-Zagier », Annals of Mathematics (à paraître).

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