Accueil du site > Actualité de la recherche > Actualités scientifiques




Recherchez sur ce site


Sur la régularité des solutions de certaines équations aux dérivées partielles

25 septembre 2013

Bien des systèmes physiques se décrivent à l’aide d’équations aux dérivées partielles. Trouver les solutions de telles équations est en général difficile, au point que la question qualitative de la régularité de ces solutions pose déjà de nombreux problèmes. Une étude vient de démontrer des propriétés de continuité pour les solutions de certaines classes d’équations aux dérivées partielles.

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction d’une variable. Une telle équation exprime une relation entre la fonction f et ses dérivées successives (f’, f’’, etc.). Résoudre une équation différentielle, c’est trouver l’ensemble des fonctions qui satisfont cette relation. Les équations différentielles sont un pilier fondateur de la physique mathématique, surtout au travers de leur généralisation naturelle, les équations aux dérivées partielles (EDP), qui fonctionnent selon le même principe mais pour des fonctions à plusieurs variables, que l’on peut ainsi dériver selon l’une ou l’autre d’entre elles (obtenant ainsi des dérivées partielles ).

Une EDP très importante est l’équation de Laplace, qui exprime que la somme des dérivées secondes d’une fonction numérique par rapport à chacune des variables est égale à une fonction préalablement donnée. Cette équation est la plus importante des EDP dites elliptiques . L’équation de Laplace est linéaire, mais des EDP elliptiques non-linéaires apparaissent par exemple dans des problèmes de contrôle d’équations différentielles stochastiques (c’est-à-dire dans lesquelles intervient le hasard) ou encore dans des problèmes de géométrie. De telles équations ont des propriétés tout à fait remarquables, qui ont été abondamment étudiées.

Une question cruciale dans l’étude de telles équations est celle de la régularité de leurs solutions. Des phénomènes troublants peuvent en effet apparaître même dans des cas apparemment simples. Par exemple, si l’on s’intéresse aux fonctions f d’une seule variable telles que |f’|.f’’ = 1, alors il est assez facile de voir que, sur son ensemble de définition, f n’est au mieux que continûment dérivable.
Les résultats de régularité des solutions sont plus ou moins faciles à obtenir selon la forme de l’EDP. En particulier, si celle-ci est sous "forme divergence", alors les choses sont plus simples. Les premiers résultats hors de cette forme particulière ont été obtenus par Nikolai Krylov et Mikhail Safonov puis étendus par Luis Caffarelli : les solutions sont continûment dérivables, et l’on dispose de résultats optimaux sur un aspect important indiquant leur niveau de régularité : le module de continuité possible pour le gradient (Nadirashvili et Vladut, 2008).
Tous ces travaux s’appliquent à une sous-classe des équations elliptiques : les équations uniformément elliptiques. Cyril Imbert et Luis Silvestre, eux, viennent de s’intéresser à une autre sous-classe, contenant certaines équations dites dégénérées, et qui sont une généralisation de l’équation |f’|.f’’ = 1 évoquée plus haut. En combinant des techniques de type Krylov et Safonov (Imbert, 2011) et une technique développée au début des années 1990 par Hitoshi Ishii et Pierre-Louis Lions (1990), ils ont montré que le gradient des solutions de ces EDP particulières sont continues, parvenant aussi à contrôler leur module de continuité en fonction du second membre de l’équation.

Références


C. Imbert, L. Silvestre, "C1,α regularity of solutions of degenerate fully non-linear elliptic equations", Advances in Mathematics 233 (2012) 196-206.
L.A. Caffarelli, X. Cabré, "Fully Nonlinear Elliptic Equations" in : American Mathematical Society Colloquium Publications 43, American Mathematical Society, Providence, RI, (1995).
C. Imbert, "Alexandroff–Bakelman–Pucci estimate and Harnack inequality for degenerate/singular fully non-linear elliptic equations", J. Differential Equations 250 (3) (2011) 1553–1574.
H. Ishii, P.-L. Lions, "Viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic partial differential equations", J. Differential Equations 83 (1) (1990) 26–78.
N. Nadirashvili, S. Vladut, "Singular viscosity solutions to fully nonlinear elliptic equations", J. Math. Pures Appl. (9) 89 (2) (2008) 107–113.
M. V. Safonov, N. V. Krylov (1979), "An estimate for the probability of a diffusion process hitting a set of positive measure", Doklady Akademii Nauk SSSR 245 (1), 18–20.

Contacts
Cyril Imbert, CNRS, Laboratoire d’analyse et de mathématiques appliquées, UMR 8050, Université Paris-Est Créteil Val de Marne
Luis Silvestre, Mathematics Department, University of Chicago