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Une avancée en théorie de la modulation

19 novembre 2013

Deux mathématiciens français et leurs deux collaborateurs américains ont réalisé une avancée décisive dans l’étude de la stabilité des ondes périodiques et de la validité de la théorie de la modulation.

La fréquence d’un phénomène périodique est, dans sa définition technique, le nombre de fois qu’il se reproduit à l’identique par unité de temps (un nombre de battements de cœur par minute, par exemple). Dans le cas de la lumière, la fréquence se mesure en Hertz, du nom d’un physicien allemand du XIXe siècle. « Moduler » une fréquence consiste à la faire varier légèrement, dans le temps ou dans l’espace. Il s’agit notamment de contrôler que leurs variations restent limitées, comme dans le cas du cœur.

Dans les années 1970, l’américain Gerald Whitham a proposé une théorie pour mettre en équations les modulations de fréquence (entre autres paramètres liés à des phénomènes ondulatoires). Purement algébrique, cette approche est longtemps restée fondée sur une approximation non justifiée, qui résistait à toutes les tentatives de clarification. C’est seulement dans les années 1990 qu’un chercheur allemand, Guido Schneider, par la suite rejoint par des chercheurs néerlandais et américains, a résolu le problème dans le cas des ondes dites de réaction-diffusion. Il s’agit par exemple de celles que l’on peut observer dans la croissance de populations de bactéries, diffusant dans leur milieu de culture et interagissant entre elles.

Tout récemment, Miguel Rodrigues et Pascal Noble, en collaboration avec leurs collègues américains Mathew Johnson et Kevin Zumbrun, se sont intéressés à une extension de ces idées au cas des ondes des systèmes dits visqueux (ou dissipatifs). Ces systèmes très généraux peuvent modéliser de nombreux phénomènes physiques (parmi lesquels les écoulements de fluides visqueux). La résolution de ce problème est l’aboutissement d’une collaboration de longue haleine qui vient d’être publiée. Malgré tout, des problèmes anciens, en optique non-linéaire notamment, ne sont pas couverts par ces nouveaux progrès, en raison de l’absence de phénomène dissipatif.


Modulation de phase. Diagramme espace-temps (en abscisse-ordonnée). Sur cette simulation [B. Barker, M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues, K. Zumbrun, Physica D : Nonlinear Phenomena 258 (2013)], on observe que les décalages --- ou déphasage --- des crêtes (en bleu) et des creux (en vert) de l’onde obéissent aux prévisions de la théorie de la modulation (en rouge).



Références
M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues & K. Zumbrun, « Nonlocalized modulation of periodic reaction diffusion waves : nonlinear stability », Archive for Rational Mechanics and Analysis 207 (2) 2013.
M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues & K. Zumbrun, « Nonlocalized modulation of periodic reaction diffusion waves : the Whitham equation », Archive for Rational Mechanics and Analysis 207 (2) 2013.
M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues & K. Zumbrun, « Behavior of periodic solutions of viscous conservation laws under localized and nonlocalized perturbations », Inventiones mathematicae (à paraître).
G. Schneider, « Diffusive stability of spatial periodic solutions of the Swift-Hohenberg equation », Communications in Mathematical Physics 178 (3) (1996). A. Doelman, B. Sandstede, A. Scheel et G. Schneider, Memoirs of the American Mathematical Society 199 (934) (2009).


Contacts
Pascal Noble, Institut Camille Jordan (université Lyon-I), UMR 5208.
Luis Miguel Rodrigues, Institut Camille Jordan (université Lyon-I), UMR 5208.