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Problèmes de structure sur les groupes de Cremona

10 décembre 2013

Objets mathématiques gigantesques, fascinants et encore très mystérieux, les groupes de Cremona, introduits il y a un siècle et demi, ont une structure dont la description résiste encore aux tentatives des mathématiciens. Une avancée récente vient d’être obtenue par deux chercheurs.

La représentation perspective est un moyen courant de représenter une situation spatiale sur un plan P. L’œil de l’observateur étant situé à l’arrière de ce plan, un objet S se projette sur P pour donner un objet bidimensionnel S’ qui correspond bien à la visualisation que l’on s’en fait.



Lorsque le plan P est ainsi envisagé comme un plan de projection, la façon de faire de la géométrie dessus n’est plus la même que d’habitude. Sur un plan ordinaire, lorsqu’on déplace un objet, sa forme et sa taille ne changent pas. Sur P en revanche, elles sont modifiées : "déplacer" S’ consiste en effet à déplacer la silhouette de S sur P, silhouette qui change de taille lorsque S s’éloigne de P, et qui change de forme lorsque S monte ou descend par rapport à S’.
Ainsi envisagé, P est appelé le plan projectif, et la géométrie qui y a cours est dite projective. Pour comprendre les propriétés du plan projectif et de ses généralisations (notamment aux dimensions supérieures), Luigi Cremona a introduit en 1863 des objets depuis lors appelés les groupes de Cremona. Il s’agit de l’ensemble des transformations de P qui, d’une certaine façon, en préservent les propriétés, à l’image des isométries pour un plan en géométrie ordinaire. Les groupes de Cremona sont en quelque sorte la clé de la géométrie projective, d’où l’importance d’en comprendre la structure.
Diverses conjectures ont été émises à ce sujet dans le "cas complexe" (c’est-à-dire lorsque les coordonnées des points ne sont pas des nombres réels mais des nombres complexes), dont celles d’Igor Shafarevich en 1966, David Mumford en 1974 ou encore, plus récemment, celle de Jean-Pierre Serre. Dans leur publication, Jérémy Blanc et Jean-Philippe Furter répondent à ces conjectures. D’une part, contrairement à ce que supposaient Shafarevich ou Mumford, la description de ces groupes en termes de "variété algébrique de dimension infinie" ne peut fonctionner convenablement : on peut certes décomposer un groupe de Cremona en une union disjointe de variétés algébriques de dimension de plus en plus grande, mais le recollement de celles-ci donne à voir une surface dont toutes les courbes constitutives passent par un même point (voir figure), ce qui n’est pas satisfaisant. D’autre part, ils répondent positivement à la question de Serre, qui elle portait sur une description de nature topologique plutôt qu’algébrique.


Un exemple de surface dont toutes les courbes passent par un même point.


Références
J. Blanc, J.-P. Furter, Topologies and structures of the Cremona groups, Ann. of Math. 178 (2013), no. 3, 1173-1198.

Contacts
Jérémy Blanc, Univ. de Bâle, Suisse
Jean-Philippe Furter, Univ. de La Rochelle, France