Institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions

Une version arithmétique de l'analyse complexe

Delphine Demols — 2013-04-23T18:50:26Z

Les fonctions définies par des séries ont une interprétation naturelle dans le plan complexe. Une étude approfondit l'interprétation correspondante pour les séries issues de l'arithmétique.

Une fonction (numérique) associe à chaque nombre x un autre nombre f(x), selon une règle prédéfinie. Un type de règle courant est celui des fonctions polynomiales, dans lesquelles f(x) s'obtient en combinant x et ses premières puissances, comme dans l'expression . Les expressions , , √3 x et √2 sont les termes de la fonction, les valeurs 3, -5, √3 et √2 en sont les coefficients. Les fonctions polynomiales n'étant pas suffisantes, même dans des cas simples, une façon d'aller plus loin consiste à définir des séries entières, fonctions définies par une infinité de termes.
L'importance des séries entières tient au fait qu'elles caractérisent exactement les fonctions analytiques, c'est-à-dire que les séries entières recouvrent exactement l'ensemble des fonctions dérivables dans le cadre des nombres complexes. Une autre façon de le dire est la suivante : pour étudier les séries entières, l'ensemble des nombres complexes est bien adapté, car il fournit le cadre dans lequel ces séries correspondent à une propriété très naturelle.
En arithmétique, l'on est amené à considérer une partie seulement de l'ensemble des séries entières : celles qui sont à coefficients entiers. L'on aimerait alors disposer d'un support géométrique adapté, un espace sur lequel les fonctions soient exactement celles qui nous intéressent, à l'image de l'ensemble des nombres complexes pour les séries entières en général.
Le fait que les séries à coefficients entiers soient moins nombreuses impose que le support soit plus gros que pour les séries entières quelconques. La solution date de la fin des années 80, où Vladimir G. Berkovich a découvert un espace adapté. Cet espace regroupe, outre les nombres complexes (qui forment un plan), des espaces que l'on appelle « p-adiques », qui ont, eux, une structure d'arbre. Il est très difficile de comprendre comment toutes ces parties s'agencent pour former un seul et même espace.
Dans un article récent, Jérôme Poineau étudie ces espaces et leurs analogues en dimension supérieure (c'est-à-dire lorsque les séries dépendent de plusieurs paramètres et non du seul x). Il démontre que ceux-ci possèdent localement les mêmes bonnes propriétés que les espaces analytiques complexes et qu'il est donc possible d'y faire de la géométrie comme on en a l'habitude. En particulier, ces espaces peuvent toujours être définis par un nombre fini d'équations, il existe pour eux une "bonne" notion de dimension, et le principe du prolongement analytique y est valable.

Références
Jérôme Poineau. La droite de Berkovich sur Z. Astérisque n°334 (2010)
Jérôme Poineau. Espaces de Berkovich sur Z : étude locale. Inventiones mathematicae.
À paraître.

Contact
Jérôme Poineau - Institut de Recherche Mathématique Avancée, UMR 7501 (université de Strasbourg).

Le programme de Roberts

Delphine Demols — 2013-03-11T15:35:24Z

Le programme de Roberts est une liste de conjectures formulées principalement pendant les années 1970-1980 sur l'existence et le propriétés des solutions des équations de Schrödinger non-linéaires avec conditions non-nulles à l'infini. La démonstration récente d'une partie de ces conjectures ouvre la voie vers la compréhension d'autres points du programme.

L'équation de Schrödinger décrit le mouvement d'une particule massive dans le cadre de la mécanique quantique, de la même manière que les équations de Newton le font dans le cadre de la mécanique classique. La variante non-linéaire de l'équation de Schrödinger (SNL) permet de modéliser une très grande quantité de phénomènes physiques. Pour cette dernière, dans certains cas, on peut se contenter d'en étudier les solutions dont la limite est zéro, ce qui a donné lieu à beaucoup de recherches ces dernières décennies. Toutefois, dans beaucoup de domaines comme la supraconductivité, la superfluidité, les transitions de phase ou l'optique non-linéaire, des conditions non-nulles à l'infini apparaissent naturellement. C'est notamment le cas pour l'étude du condensat de Bose-Einstein, dont l'existence a été prédite par la théorie dès 1925 avant d'être vérifiée expérimentalement seulement en 1995.

Les conditions non nulles à l'infini engendrent une dynamique incomparablement plus riche que dans le cas des solutions qui tendent vers zéro. Elles permettent l'existence de familles importantes de solutions spéciales, comme les vortex (tourbillons) et les ondes progressives. Ces dernières sont des structures localisées (des « bosses » ou des « trous ») qui se propagent dans un milieu de densité supposée constante à l'infini.

Dans une longue série de travaux, les physiciens J. Grant, C.A. Jones, S.J. Putterman, P.H. Roberts et al. avaient étudié formellement et numériquement ces conditions non-nulles à l'infini. Leurs travaux ont conduit à la formulation d'un ensemble de conjectures, le programme de Roberts, sur l'existence, les propriétés structurelles et la stabilité de ces solutions. Malgré les nombreux efforts de ces vingt dernières années, une partie importante de ces conjectures résiste toujours.

Dans une publication récente, Mihai Maris (Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR 5219) vient de démontrer une nouvelle partie des conjectures du programme de Roberts. Celle-ci porte sur l'observation que des ondes progressives d'énergie finie existent uniquement pour des vitesses inférieures à la vitesse du son à l'infini dans le milieu de propagation. La démonstration complète de cette conjecture en dimension supérieure ou égale à trois fait suite de nombreux résultats partiels antérieurs (F. Bethuel, D. Chiron, P. Gravejat, Z. Lin, G. Orlandi, J.-C. Saut, D. Smets), et repose sur la théorie des équations aux dérivées partielles et le calcul des variations. Notons qu'en dimension deux, le problème de l'existence pour toute vitesse subsonique reste encore ouvert.

Références :

1. C. A. Jones, P. H. Roberts, Motions in a Bose condensate : IV. Axisymmetric solitary waves, J. Phys. A : Math. Gen. Vol. 15 (1982), pp. 2599-2619.

2. M. Maris, Traveling waves for nonlinear Schrödinger equations with nonzero conditions at infinity, à paraître dans Annals of Mathematics, Vol. 178, no. 1, 2013.

Contact :
Mihai MARIS, Institut de Mathématiques de Toulouse UMR 5219, Université Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 9, France.

Construire des courbes sur une surface

Delphine Demols — 2013-03-11T15:34:26Z

La conjecture de Tate prédit l'existence de courbes sur certaines surfaces définies par des équations polynomiales. Un cas particulier de cette conjecture, ouvert depuis 1974, vient d'être résolu.

Étant donnée une surface, il est souvent possible de décrire quelles courbes il est possible de tracer dessus. En revanche, pour les surfaces décrites par des équations polynomiales, déterminer les courbes algébriques (c'est-à-dire elles aussi définies par des polynômes) que l'on peut dessiner dessus est beaucoup plus difficile. Choisissons un polynôme P à trois variables, de degré au moins 4 et à coefficients complexes. Les solutions de l'équation P(x, y, z) = 0 forment une surface S. Si le polynôme P a été choisi "au hasard", le théorème de Noether-Lefschetz garantit que, en général, les seules courbes algébriques qui peuvent être tracées sur S ont une définition somme toute prévisible : une telle courbe est toujours donnée par l'ensemble des points (x, y, z) qui sont simultanément solutions de l'équation P(x, y, z) = 0 (qui garantit que la courbe est sur S) et d'une autre équation algébrique quelconque, Q(x, y, z) = 0.

Pour certains choix particuliers de P, les choses sont plus compliquées. Prenons par exemple pour surface S la surface l'équation x4+yz+x+y = 0. Cette surface contient la droite d'équation x = y = 0, qui n'est pas de la forme précédente. La présence de courbes exceptionnelles de cette sorte pour certaines surfaces est un cas particulier de la célèbre conjecture de Hodge, démontré par Poincaré, Lefschetz et Kodaira-Spencer. Les choses sont beaucoup moins bien comprises dans le cas de surfaces définies dans des espaces plus abstraits où P est à coefficients dans un corps fini1. Dans les années 1960, John Tate a formulé une conjecture qui décrit la géométrie des courbes sur S en fonction de P. La conjecture générale est toujours ouverte, mais un cas considéré comme particulièrement important vient d'être démontré par François Charles (Institut de recherches mathématiques de Rennes, CNRS UMR 6625), celui où P est de degré exactement 4. Ce travail s'appuie sur une avancée remarquable due à Davesh Maulik (Columbia University) qui a montré comment des résultats de Borcherds liés aux formes modulaires permettaient de résoudre une partie importante du problème.

Références :
François Charles, The Tate conjecture for K3 surfaces, Inventiones Mathematicae (à paraître).

Contact :
François Charles, Institut de Recherche Mathématique de Rennes, UMR 6625 du CNRS/Université de Rennes 1

Sur la géométrie des ensembles fractals discrets

Delphine Demols — 2013-01-29T21:36:41Z

Une catégorie importante d'ensembles fractals est celle des ensembles "autosimilaires", qui possèdent la propriété d'être identiques (à grossissement près) à leurs parties. L'exemple le plus connu est celui du flocon de Von Koch, qui est fait de quatre flocons de Von Koch plus petits, chacun d'eux étant donc lui aussi fait de quatre flocons encore plus petits, et ainsi de suite.

Les fractals les plus connus sont en général donnés par des courbes, mais la propriété d'autosimilarité peut aussi, en la reformulant un peu, concerner des ensembles discrets, c'est-à-dire, pour faire court, des ensembles faits de points isolés les uns des autres. Dans ce cas, le caractère fractal se manifeste "vers l'infini" et non en des points particuliers. De telle fractals apparaissent notamment en arithmétique. Un exemple classique est celui du "triangle de Pascal modulo 2", un autre est celui de l'ensemble des points à coordonnées entières (m, n) limité par les demi-droites d'équations y = √2x et y = -√2x.

Figure 2 : Légende : Début du triangle de Pascal modulo 2.
Chaque point bleu correspond à une valeur impaire du triangle de Pascal classique.

Figure 3 : Légende : Points compris entre les demi-droites y = √2x et y = -√2x.
La ligne brisée rouge est leur "voile d'Arnold".

Dans une publication récente, Driss Essouabri (université de Saint-Étienne) et Ben Lichtin (université de Rochester) posent les fondements d'une théorie nouvelle pour étudier la géométrie de ce genre d'ensembles. Sous certaines hypothèses, ils ont démontré des propriétés précises de la "fonction zêta fractale" associée à ces ensembles, qui permettent non seulement d'obtenir des renseignement sur leur géométrie (notamment leur "dimension fractale"), mais aussi de nombreuses propriétés jusque là inaccessibles. En particulier, les résultats d'Essouabri et Lichtin permettent d'étendre des résultats qui n'avaient pas été améliorés depuis les années trente sur les voiles d'Arnold (cf. figure) définis par des demi-droites dont les pentes ne sont pas quadratiques.

Références
D. Essouabri et B. Lichtin, “zeta functions of discrete self-similar sets”. Advances in Mathematics, 232 (2013), no. 1, 142-187.

Contacts
Driss Essouabri, université de Saint-Étienne, Institut Camille Jordan, UMR 5208.
Ben Lichtin, Université de Rochester (États-Unis).

Billards rationnels et groupe de renormalisation

Delphine Demols — 2013-01-11T11:03:39Z

Le billard français (sans trou) se joue habituellement sur une table rectangulaire. Si on y supprime les frottements, la trajectoire (infinie) d'une boule ponctuelle est très simple à décrire. En revanche, cela devient beaucoup plus difficile si la table est de forme polygonale quelconque, ou même triangulaire.

Entre ces deux extrêmes, il existe des cas à la fois riches et accessibles : ceux des tables polygonales dont les angles, exprimés en degrés, sont des nombres rationnels. Pour ces tables-là, un outil mathématique performant est celui de surface de translation : derrière chaque côté du polygone, dupliquons le polygone comme à travers un miroir, et recommençons pour chaque nouveau côté. Le fait que les angles soient rationnels impose que ces duplications successives, qui peuvent s'empiler les unes sur les autres, auront une fin (c'est-à-dire qu'on finira par ne plus obtenir de polygone qui n'ait pas déjà été matérialisé). L'ensemble obtenu est la surface de translation, qui contient toute l'information nécessaire à l'étude du billard initial tout en étant beaucoup plus facile à étudier. En particulier, la trajectoire d'une boule sur cette surface est une simple demi-droite, et non une ligne brisée comme sur le polygone initial.

Pour comparer les billards, on considère un ensemble de surfaces de translations, appelé plutôt espace de modules, et l'on cherche à déterminer lesquelles de ces surfaces ont des propriétés communes. L'outil central pour cela est le groupe de renormalisation, qui permet de transformer une surface de translation en une autre. Dans un article récent, Artur Avila et Sébastien Gouëzel apportent une contribution importante à l'étude du groupe de renormalisation, en expliquant à quelle vitesse il "mélange" les surfaces de translation, et donc dans quelle mesure les surfaces de translation d'une même famille ont tendance à avoir un comportement comparable.

Des résultats étaient déjà connus dans le cas particulier de surfaces de translations très symétriques (comme celles déduites de polygones réguliers), car l'espace de modules est alors une surface hyperbolique, un objet mathématique bien connu. L'avancée réalisée est une généralisation d'un résultat classique sur ces surfaces hyperboliques, mais en dimension plus grande. Le peu de degrés de liberté offert par le groupe de renormalisation pour passer d'une surface de translation à une autre explique la difficulté, mais aussi l'importance, des résultats obtenus. En particulier, cette limitation imposée par le groupe de renormalisation excluait l'emploi de techniques analytiques (reposant sur l'étude du laplacien), qui ont dû être remplacées par des techniques provenant des systèmes dynamiques.

Références
Artur Avila and Sébastien Gouëzel, Small eigenvalues of the Laplacian for algebraic measures in moduli space, and mixing properties of the Teichmüller flow

Contacts
Artur Avila, UMR7586 Institut de mathématiques de Jussieu (IMJ) et UMI 2294 IMPA Rio de Janeiro
Sébastien Gouëzel, UMR 6625 IRMAR, Université de Rennes 1.

Décrire la frontière d'un milieu hétérogène

Delphine Demols — 2012-12-04T07:57:05Z

Une difficulté dans l'étude des matériaux est leur hétérogénéité : des propriétés telles que la conduction thermique d'un composite ou la perméabilité d'un matériau poreux fluctuent beaucoup, même sur des distances très courtes. La simulation informatique de ces fluctuations resserrées est impossible, car la finesse des grilles de calcul est trop limitée.

La théorie de l'homogénéisation, développée depuis les années 1970, vise à résoudre ce problème. Son but est d'obtenir un modèle homogène, c'est-à-dire sans fluctuations, ayant des caractéristiques moyennes identiques à celles du matériau hétérogène. Concrètement, le matériau est modélisé par une équation aux dérivées partielles assortie d'un paramètre dont la valeur, petite, représente l'échelle spatiale des fluctuations. Le défi mathématique est alors de comprendre ce qui se passe lorsque le paramètre devient de plus en plus petit, de sorte à obtenir un modèle homogène, débarrassé des fluctuations mais gardant de la précision.

Si les modèles homogènes limites dits « d'ordre 0 » sont maintenant bien compris, les modèles plus fins, dits « d'ordre 1 », posent encore problème. Une question essentielle consiste à analyser mathématiquement la manière dont les fluctuations interagissent avec le bord du matériau. Ce problème, soulevé en 1978 par Alain Bensoussan, Jacques-Louis Lions et George Papanicolaou, vient de connaître une avancée, publiée par David Gérard-Varet (université Paris-7) et Nader Masmoudi (université de New-York), qui ont obtenu le premier résultat d'homogénéisation pour des fluctuations périodiques réparties à la fois à l'intérieur et au bord du matériau.

L'originalité et la difficulté du théorème tiennent à ce que la périodicité des fluctuations est brisée par le bord, dont la forme est quelconque. Cette brisure empêche d'emblée d'espérer pouvoir obtenir une formule explicite en fonction du petit paramètre. De plus, outre la théorie des équations aux dérivées partielles, la démonstration a recours à la théorie des nombres, ainsi qu'à la théorie ergodique.

David Gérard-Varet, Université Paris-7, Institut de Mathématiques de Jussieu (UMR 7586).
Nader Masmoudi, Université de New-York, Département de mathématiques.

Références
Alain Bensoussan, Jacques-Louis Lions & George Papanicolaou, Asymptotic Analysis for Periodic Structures, North-Holland, 1978.
David Gérard-Varet & Nader Masmoudi, « Homogeneization and Boundary Layers », Acta Mathematica 209, 133-178, 2012.

À propos du programme de Kac en théorie cinétique

Delphine Demols — 2012-11-02T14:22:03Z

À l'échelle microscopique, la dynamique d'un gaz peu dense dont les molécules n'interagissent que par collisions est celle de Newton, réversible. À l'échelle macroscopique en revanche, c'est l'équation de Boltzmann qui intervient, et celle-ci est irréversible. L'entropie croît au cours du temps et la distribution statistique du gaz tend vers un état d'équilibre de Maxwell. Comment réconcilier ces deux perspectives ?

Dans un article précurseur de 1956 traitant de cette question alors déjà ancienne [1], Mark Kac propose une autre approche : il pose les bases mathématiques de la notion de chaos moléculaire et introduit une marche aléatoire pour le mécanisme de collision dont la limite formelle lorsque le nombre de particules tend vers l'infini est (un modèle simplifié de) l'équation de Boltzmann. Il pose alors trois questions qui forment le « programme de Kac » :

(1) Est-il possible de prouver la propagation du chaos pour des modèles physiquement réalistes ?

(2) Est-il possible de montrer que le retour vers l'équilibre, vrai pour un nombre fini de particules, a lieu avec un taux de relaxation uniforme par rapport au nombre de particules ? (Kac espérait en déduire un taux de retour vers l'équilibre pour l'équation de Boltzmann limite.)

(3) Est-il possible d'obtenir le « théorème H » de Boltzmann (sur la croissance de l'entropie au fil du temps) à partir de la description microscopique du système ?

Une avancée marquante concernant ce programme vient d'être faite par Stéphane Mischler et Clément Mouhot [2]. Leur travail démontre premièrement une propagation du chaos uniforme en temps pour le modèle de Boltzmann des sphères dures et des collisions de Maxwell à travers une nouvelle approche entièrement quantitative. Celle-ci permet de répondre à la deuxième question de Kac, mais à rebours de ce que Kac imaginait : la réponse s'appuie sur un résultat de retour à l'équilibre de l'équation de Boltzmann, connu aujourd'hui mais qui ne l'était pas en 1956. Ce travail démontre troisièmement que l'entropie de la solution de l'équation de Boltzmann est la limite des entropies des systèmes de particules, et permet donc pour la première fois de dériver le théorème H de Boltzmann à partir de, et uniquement de, considérations sur la dynamique microscopique.

Ce travail, qui utilise des outils issus de nombreux domaines (analyse des équations aux dérivées partielles, analyse fonctionnelle, probabilités, statistiques, théorie de l'information) met au jour l'importance d'estimations de propagation de régularité duale au niveau des solutions statistiques de l'équation de Boltzmann et montre comment les exploiter dans un cadre fonctionnel adéquat pour obtenir des démonstrations de consistance-stabilité entre le système de particules et l'équation limite.

Références

[1] Mark Kac, Foundations of kinetic theory. Proceedings of the Third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1954–1955, vol. III, pp. 171–197. University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1956.

[2] Stéphane Mischler, Clément Mouhot, Kac's program in kinetic theory, Inventiones Mathematicae, online first, 7 septembre 2012. Contacts

Stéphane Mischler CEREMADE, Université Paris-Dauphine Place du Maréchal de Lattre de Tassigny F-75775 Paris Cedex 16

Clément Mouhot Centre for Mathematical Sciences, University of Cambridge Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WA, UK

Décrire les fréquences propres d'un espace hyperbolique

Delphine Demols — 2012-10-10T07:17:25Z

Comment vibre un espace géométrique abstrait ? Une conjecture vieille de vingt ans sur les fréquences propres de l'opérateur de Laplace vient d'être démontrée.

Lorsqu'on frappe un tambour, le son obtenu est une somme de plusieurs sons purs, chacun défini par une fréquence propre. Les fréquences propres se calculent à l'aide de l'« opérateur de Laplace » (ou « laplacien »), qui est un outil fondamental pour analyser les solutions d'équations aux dérivées partielles décrivant des systèmes physiques.

Que deviennent les fréquences propres du laplacien lorsque le tambour est remplacé par un espace mathématique abstrait, de dimension quelconque ? Des exemples importants sont les « espaces hyperboliques de congruence », qui sont des espaces non-euclidiens (1), compacts (2), et dont les propriétés de symétrie sont liées à des objets issus de l'arithmétique. Burger, Li et Sarnak ont conjecturé en 1992 que, dans les espaces hyperboliques de congruence, il est possible de décrire entièrement les premières fréquences propres du laplacien, qui sont donc entièrement « quantifiées », et que celles-ci ne dépendent que de la dimension de l'espace, et non de sa forme. C'est cette conjecture que Nicolas Bergeron et Laurent Clozel viennent de démontrer pour l'essentiel. Par exemple, en dimension impaire d = 2m+1, les premières fréquences propres sont 0, m²–(m–1)², m²–(m–2)²,…, m².

Pour obtenir leurs résultats, les auteurs se sont notamment appuyés sur les grands progrès de ces trente dernières années de la théorie des « formes automorphes », dans laquelle se sont notamment illustrés James Arthur (Toronto) et Ngô Bao Châu (Chicago), qui a reçu la médaille Fields en 2010.

Notes

1 Dans un espace non-euclidien, l'axiome selon lequel par un point donné passe une seule parallèle à une droite donnée est faux. Lorsque l'espace est hyperbolique, un point étant donné, il existe plusieurs parallèles à une « droite » (on parle de géodésique) donnée.

2 Dans un espace compact, tout voyageur se déplaçant droit devant lui finit toujours par se retrouver arbitrairement près de sa position initiale. C'est par exemple le cas sur un tore (la surface définie par une chambre à air).

Références

Nicolas Bergeron and Laurent Clozel. Quelques conséquences des travaux d'Arthur pour le spectre et la topologie des variétés hyperboliques

Contacts

Nicolas Bergeron, UMR7586 Institut de mathématiques de Jussieu (IMJ)
Laurent Clozel, UMR8628 Laboratoire de mathématiques d'Orsay (LMO)

Voir comprendre et quantifier les cellules en action

Delphine Demols — 2012-09-10T07:02:43Z

Au cours des trente dernières années, avec le perfectionnement de la microscopie et les micromanipulations, la physique a donné des outils puissants et inégalés à la biologie. Combinées avec la génétique moléculaire pour modifier les gènes et avec l'utilisation ingénieuse de molécules fluorescentes pour suivre les molécules dans la cellule, ces techniques ont dévoilé un monde nouveau, celui de la cellule en action à l'échelle moléculaire.

Sur le modèle de la physique statistique qui a permis de fonder la théorie des gaz et la thermodynamique à partir du niveau moléculaire, notre groupe cherche à décrire, quantifier, expliquer et prédire le comportement cellulaire à partir du niveau moléculaire. Pour cela, nous construisons des modèles fondés sur les lois de la physique élémentaire et nous développons des méthodes mathématiques pour quantifier, simuler et prédire le comportement cellulaire et sous-cellulaire organisé en petits compartiments correspondant à une fonction biologique.
Ces méthodes nous permettent d'analyser et d'interpréter des données complexes obtenues expérimentalement. Notre approche utilise différents champs du savoir comme la physique statistique, les mathématiques appliquées, les équations aux dérivées partielles, les probabilités, la biophysique, la biologie cellulaire, et la virologie physique. Dans ce contexte, nous avons développé une théorie mathématique « du petit trou », où il s'agit d'évaluer le temps moyen pour qu'une particule aléatoire atteigne un petit trou situé sur une surface ou dans la corne d'un petit domaine. Ce temps moyen tend vers l'infini quand la taille du petit trou tend vers zéro, et seule une approche asymptotique permet de déterminer comment ce temps dépend de la forme du domaine et du petit trou.

LES APPLICATIONS ET ENJEUX

Voici trois autres exemples de situations et de questions où nos méthodes théoriques ont permis de mieux comprendre et quantifier le comportement cellulaire.

Notre premier exemple parle de la sensibilité des cellules de la rétine (Fig. 1) qui, aujourd'hui, nous permet de prédire la physiologie des cônes dégénérés dans certaines pathologies comme la rétinite pigmentaire (ou Retinitis pigmentosa) où il est encore impossible d'obtenir des enregistrements expérimentaux.

Le photo courant mesuré dans un cône (retine striped bass) en fonction du temps : Le maximum amplitude du photo-courant croit avec l'intensité de la lumière jusqu'a une valeur saturante. Le courant correspond a l'activité des échangeurs K+-, Na+/Ca2+, qui induisent un changement dans la concentration intracellulaire du calcium, mesuré par les changements de fluorescence (D. Holcman J. Korenbrot, J Gen Physiol. 2005 ;125(6):641-60.)

Comment se fait-il que les bâtonnets de notre rétine réussissent à détecter un photon isolé, alors que les cônes ne le peuvent pas ? La réponse repose sur une analyse du comportement des photorécepteurs à l'échelle moléculaire : ce sont les réactions chimiques sous-jacentes qui engendrent un bruit et empêchent la détection du photon.
En collaboration avec J. Korenbrot (San Francisco) et G. Fain (Los Angeles), nous combinons des enregistrements électrophysiologiques, une modélisation mathématique, et des simulations numériques, et nous commençons ainsi à comprendre quantitativement la phototransduction et à évaluer précisément le nombre de molécules mis en jeu.

Le deuxième cas concerne la transmission synaptique entre neurones (qui est le support de la communication cellulaire, de la mémoire et de l'apprentissage) qui permet de comprendre ce qu'il se passe dans certaines pathologies comme l'autisme et l'épilepsie. Il s'agit ici de savoir comment quantifier le courant synaptique, combien de temps reste le calcium dans les synapses une fois entré et comment la géométrie de la synapse contrôle le flux de récepteurs ou de molécules qui y transitent (collaboration avec D. Choquet et A. triller) ?
La réponse à ces questions passe par une modélisation de la synapse à partir du niveau moléculaire, où un calcul du temps de résidence des récepteurs permet une évaluation quantitative du rôle de la géométrie des épines dendritiques dans la régulation des flux moléculaires, et nous avons été un des groupes pionniers dans cette approche. Nous utilisons aussi nos modèles pour analyser et quantifier les changements liés à certaines pathologies dues au dysfonctionnement moléculaire de la synapse (En collaboration avec N. Rouach) ou aux conditions externes, comme un régime alimentaire gras en cas d'épilepsie.

Nous avons également étudié grâce à des simulations numériques comment certaines modifications identifiées dans des cas d'autisme modifient le trafic cellulaire et, de là, la transmission synaptique.

Enfin, la virologie physique : comment comprendre ce qui provoque le succès ou l'échec de l'invasion d'une cellule par un virus ? (fig. 2) Dans ce domaine de recherche récent, nous cherchons à évaluer le succès de l'infection virale à partir de la modélisation du mouvement aléatoire d'une particule virale unique évoluant à l'intérieur d'une cellule.

Trajectoire d'AAV (Adeno-associated viruses) pendant le processus d'infection. Ces trajectoires permettent de distinguer divers de l'infection, e.g. diffusion en solution (1 and 2), arriver sur la membrane cellulaire (2), penetration de la membrane cellulaire (3), diffusion dans le cytoplasm (3 and 4), penetration de l'envelope nucleaire (4), et diffusion dans le nucleoplasme (G. Seisengerger et al. Science 294, 1929, 2001.)

En collaboration avec divers groupes à (A. Herrmann) Berlin et a l'Université d'Indiana (B. Dragnea) aux USA, nous mettons en place de nouvelles méthodes d'analyse pour les trajectoires et la formation des virus. Nous espérons ainsi parvenir à optimiser la construction des vecteurs utilisés en thérapie génique pour transférer des gènes.

Contacts Chercheurs :
David Holcman
CNRS : UMR8197 - Institut de biologie de l'Ecole Normale Supérieure (IBENS) / INSERM

Stabilité des modèles galactiques

Delphine Demols — 2012-06-25T18:19:21Z

Récemment, trois mathématiciens ont obtenu un résultat marquant qui concerne un problème célèbre de l'astrophysique, la stabilité de modèles galactiques. Plus précisément, ils ont démontré la stabilité de configurations de galaxies modélisées par des équations aux dérivées partielles issues de la théorie cinétique.

Leur travail a été publié en 2012 dans la revue Inventiones Mathematicae et a fait l'objet en novembre 2011 d'une présentation au séminaire Bourbaki par Clément Mouhot. Pour situer le contexte de ce travail, nous proposons de reprendre une partie de l'introduction du texte associé à ce séminaire Bourbaki.

La question se formule très simplement : si l'on considère un ensemble d'un très grand nombre d'étoiles en interaction gravitationnelle (le rôle joué par les planètes dans la dynamique est négligé au premier ordre car leurs masses sont bien plus petites que celles des étoiles), dont la cohérence est assurée par leur attraction réciproque et que l'on considère en première approximation comme un système fermé, quelles sont les répartitions statistiques stables au cours du temps ? Autrement dit, quelles sont les configurations de galaxies observables dans notre univers ?

Ce problème semble à première vue tout autant insoluble que le problème à N corps de Newton. Comment formuler des prédictions à long terme sur un système de 10¹¹ corps (c'est l'ordre de grandeur du nombre d'étoiles dans notre galaxie), alors même que l'on ne sait pas résoudre de manière satisfaisante le problème à 3 corps ! C'est ici que la mécanique statistique entre en jeu.

En suivant les idées de Maxwell et de Boltzmann, on peut tenter de décrire de manière statistique l'évolution de nos N corps lorsque N tend vers l'infini et que les corps sont suffisamment “peu corrélés”, à travers une équation aux dérivées partielles non-linéaire sur la répartition d'un corps typique. Cette approche a d'abord été appliquée aux cas de gaz collisionnels pour donner la célèbre équation de Boltzmann. Cependant, les collisions entre étoiles dans une galaxie sont quasi absentes et l'interaction se fait essentiellement à distance via le champ gravitationnel. Dans les années 1930, Vlasov a découvert comment effectuer la limite lorsque N tend vers l'infini dans ce cas “non-collisionnel” afin d'obtenir des équations aux dérivées partielles non-linéaires dites de “champ moyen”. La plus célèbre d'entre elles est l'équation de Vlasov-Poisson dans sa version gravitationnelle. Cette équation de transport non-linéaire décrit avec une excellente précision l'évolution de systèmes stellaires sur de grandes échelles de temps. Ainsi, lorsque le nombre de corps est grand et que les corrélations sont faibles, on peut espérer formuler des prédictions de stabilité à partir de l'étude de l'équation de Vlasov-Poisson. C'est le physicien russe Antonov qui, le premier, découvre dans les années 1960 comment résoudre le problème de la stabilité, mais uniquement dans un cadre linéarisé. Il démontre ainsi la stabilité linéarisée des modèles galactiques sphériques et monotones en l'énergie microscopique pour des petites perturbations. Cependant, l'équation de Vlasov-Poisson est réversible en temps, non dissipative, et ses solutions montrent des oscillations en temps grand ; rien ne garantit a priori que l'étude de stabilité linéarisée d'Antonov implique la stabilité non-linéaire recherchée. C'est cette conjecture de stabilité non-linéaire, ouverte depuis quelques décennies, que viennent de démontrer Lemou, Méhats et Raphael, à la suite de nombreux travaux antérieurs (Dolbeault, Guo, Hadzic, Lin, Rein, Sánchez, Soler, Wan, Wolansky).

Références

Mohammed Lemou, Florian Méhats and Pierre Raphaël. Orbital stability of spherical galactic models. Inventiones Mathematicae Volume 187, Number 1 (2012), 145-194. Hal

Contacts Chercheurs :
Mohammed Lemou et Florian Méhats
Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR)
CNRS : UMR6625 – Université de Rennes 1 – École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan – INSA Rennes – Université Rennes II

Pierre Raphaël
Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT)
Université Paul Sabatier - Toulouse III – Université Toulouse le Mirail - Toulouse II – Université des Sciences Sociales - Toulouse I – Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse – CNRS : UMR5219