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Topologie des espaces-temps de Margulis

24 avril 2015

En 1983, Margulis construisait les premiers exemples de variétés quotients de {\bf {R}^3} dont le groupe fondamental ne soit pas virtuellement résoluble. Ce n’est que récemment que leur topologie a été déterminée, par trois méthodes différentes.

L’intérêt pour les pavages périodiques de l’espace affine euclidien remonte à l’Antiquité et leur étude scientifique au moins à Kepler, en lien avec des questions de cristallographie. À partir du dix-neuvième siècle, une étude plus systématique fut menée à travers la classification de leurs groupes de symétries, ou groupes cristallographiques, c’est-à-dire des groupes discrets d’isométries euclidiennes de {\bf R}^n qui admettent un domaine fondamental compact ("brique" du pavage). En 1910, Bieberbach établit trois théorèmes fondamentaux sur la structure de ces groupes. L’un d’eux affirme que tout groupe cristallographique admet un sous-groupe abélien d’indice fini, constitué de translations et isomorphe à {\bf Z}^n.

Il est naturel de vouloir étendre cette théorie aux pavages périodiques affines de {\bf R}^n dont les briques ne sont plus forcément images l’une de l’autre par une isométrie. Un groupe cristallographique affine, c’est-à-dire le groupe de symétries d’un tel pavage, est un groupe discret \Gamma de transformations affines de {\bf R}^n qui agit proprement sur {\bf R}^n avec un domaine fondamental compact. Rappelons que l’action de \Gamma est dite propre si tout compact {\mathcal C} de {\bf R}^n ne rencontre \gamma\cdot\mathcal{C} que pour un nombre fini d’éléments \gamma\in\Gamma. Lorsque \Gamma est contenu dans le groupe euclidien, son action sur {\bf R}^n est toujours propre, par compacité du groupe orthogonal \mathrm{O}(n), mais c’est loin d’être le cas en général. La conjecture d’Auslander, qui date de 1964, généralise le théorème de Bieberbach ci-dessus et stipule que tout groupe cristallographique affine est virtuellement résoluble, c’est-à-dire, admet un sous-groupe résoluble d’indice fini. Cette conjecture est démontrée jusqu’en dimension 6 (citons notamment les travaux d’Abels, Margulis et Soifer), et dans certains cas particuliers en dimension supérieure, mais reste entièrement ouverte en général.

Une généralisation supplémentaire consiste à étudier les pavages périodiques affines de {\bf R}^n en n’imposant plus aux briques fondamentales d’être compactes. En 1978, Milnor posait la question suivante : un groupe discret agissant proprement sur {\bf R}^n par transformations affines est-il toujours virtuellement résoluble ? Une réponse, surprenante et négative, fut apportée par Margulis en 1983 : il existe des groupes libres non abéliens agissant proprement sur {\bf R}^3 (donc sur {\bf R}^n pour tout n\geq 3). Les travaux de Fried et Goldman, et de Mess, ont montré qu’en fait tout groupe discret agissant proprement sur {\bf R}^3 par transformations affines est soit virtuellement résoluble, soit virtuellement libre.

L’étude des actions propres, par transformations affines, de groupes libres de type fini sur {\bf R}^3 a été l’objet de recherches actives ces trente dernières années, motivée par les questions de pavages ci-dessus mais aussi par des questions de géométrie lorentzienne. Il n’est pas difficile en effet de voir qu’une action propre affine d’un groupe libre \Gamma sur {\bf R}^3 préserve toujours une forme quadratique de signature (2,1) ; le quotient de {\bf R}^3 par \Gamma est alors une variété différentielle qui hérite de la structure lorentzienne plate naturelle de {\bf R}^3. Une telle variété quotient est appelée espace-temps de Margulis.

De nombreuses questions concernant les espaces-temps de Margulis ne sont résolues que depuis peu, comme la description de leur topologie. Comme l’avaient conjecturé Drumm et Goldman au début des années 1990, tout espace-temps de Margulis est topologiquement sage, c’est-à-dire homéomorphe à l’intérieur d’une variété compacte à bord. Pour démontrer ce résultat, trois méthodes différentes ont été développées : compactification, fibration au-dessus de surfaces hyperboliques et construction de domaines fondamentaux.

La méthode de compactification a été développée par S. Choi et W. Goldman [CG], dans l’esprit de la compactification classique des variétés hyperboliques réelles de dimension 3 dites géométriquement finies, quotients de l’espace hyperbolique \mathbb{H}^3 par un groupe discret \Gamma. Dans ce cas, on obtient une compactification de \mathbb{H}^3/\Gamma en observant que l’action propre de \Gamma sur \mathbb{H}^3 s’étend en une action propre à quotient compact de \Gamma sur \mathbb{H}^3\cup\Omega, où \Omega est le complémentaire, dans le bord à l’infini \mathbb{P}^1({\bf C}) de \mathbb{H}^3, de l’ensemble limite de \Gamma (c’est-à-dire de l’ensemble des points d’accumulation dans \mathbb{P}^1({\bf C}) d’une \Gamma-orbite de \mathbb{H}^3). Dans le cas d’une action affine propre sur \mathbb{R}^3 d’un groupe libre de type fini \Gamma, Choi et Goldman ont montré que l’action de \Gamma sur {\bf R}^3 s’étend de même en une action propre à quotient compact de \Gamma sur {\bf R}^3 \cup \Omega, où \Omega est un ouvert de la sphère à l’infini \mathbb{S}^2 = ({\bf R}^3 \smallsetminus\{ 0\})/{\bf R}_+^*, ce qui donne une compactification de l’espace-temps de Margulis {\bf R}^3/\Gamma. L’ouvert \Omega est obtenu en retirant à \mathbb{S}^2 non seulement un ensemble limite ("de type lumière") de \Gamma, mais également un ensemble de Cantor de demi-grands cercles reliant les points antipodaux de cet ensemble limite. Cette approche de [CG] s’appuie sur un résultat fondamental de Goldman, Labourie et Margulis de 2009, qui caractérise les actions propres affines de groupes libres de type fini \Gamma sur {\bf R}^3 au moyen d’un invariant lorentzien appelé invariant de Margulis.

La méthode de fibration a été introduite par J. Danciger, F. Guéritaud et F. Kassel [DGK1]. Elle repose sur des liens étroits entre géométrie lorentzienne de courbure constante en dimension 3 et géométrie hyperbolique réelle en dimension 2 : en particulier, le groupe SO(2,1) s’identifie au groupe des isométries du plan hyperbolique \mathbb{H}^2, et {\bf R}^3 muni de la forme quadratique x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 à l’algèbre de Lie de ce groupe munie de sa forme de Killing. Pour comprendre les actions propres par transformations affines d’un groupe discret libre de type fini \Gamma sur {\bf R}^3, on peut toujours supposer (d’après un résultat de Fried et Goldman) que la partie linéaire de l’action est donnée par un morphisme injectif d’image discrète de \Gamma dans \mathrm{SO}(2,1), correspondant à l’holonomie d’une surface hyperbolique non compacte S. D’après [DGK1] l’action de \Gamma sur {\bf R}^3 est alors propre si et seulement si sa partie de translation est donnée par un cocycle de \Gamma dans {\bf R}^3 \simeq \mathfrak{so}(2,1) correspondant à une déformation infinitésimale de S qui soit uniformément contractante, au sens où il existe un champ de vecteurs sur \mathbb{H}^2, équivariant pour le cocycle, dont la dérivée du flot rapproche uniformément les couples de points. Un tel champ de vecteurs fournit de manière simple et explicite une fibration en droites de l’espace-temps de Margulis {\bf R}^3/\Gamma au-dessus de la surface hyperbolique S.

La troisième méthode, développée dans [DGK2], consiste à construire directement des domaines fondamentaux dans {\bf R}^3 pour les espaces-temps de Margulis, bordés par des surfaces polyédriques appelées plans croches (crooked planes en anglais), introduites par Drumm (figure 1).

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Fig. 1 : Un plan croche dans {\bf R}^3.

L’existence de tels domaines fondamentaux avait été conjecturée par Drumm et Goldman au début des années 1990 ; elle permet facilement de voir que les quotients sont topologiquement sages. Pour la démontrer, l’idée est d’utiliser le lien ci-dessus entre espaces-temps de Margulis et surfaces hyperboliques S et de montrer que toute petite déformation uniformément contractante de S est obtenue en retirant à S un nombre fini de "bandelettes hyperboliques" deux à deux disjointes (régions délimitées par deux droites géodésiques, comme sur la figure 2).

Fig. 2 : On peut déformer légèrement une surface hyperbolique en lui retirant un nombre fini de bandelettes hyperboliques disjointes.

D’une part, ces bandelettes fournissent une paramétrisation de l’espace de modules des espaces-temps de Margulis fibrant au-dessus de S, par le complexe des arcs de S. D’autre part, on peut établir un lien précis entre bandelettes et plans croches, ce qui permet de démontrer la conjecture des plans croches de Drumm et Goldman.

Pour conclure, notons que l’étude des espaces-temps de Margulis menée dans [DGK1] et [DGK2] est étroitement liée à celle des actions propres de groupes discrets sur l’espace anti-de Sitter \mathrm{AdS}^3, qui est un analogue lorentzien de l’espace hyperbolique réel \mathbb{H}^3. D’après [DGK1] en effet, les espaces-temps de Margulis sont des "limites renormalisées" de quotients d’\mathrm{AdS}^3. En particulier, les variétés quotients d’\mathrm{AdS}^3 fibrent elles aussi au-dessus de surfaces hyperboliques, mais en cercles cette fois, et l’on peut développer une théorie de domaines fondamentaux dans \mathrm{AdS}^3 bordés par des "plans croches AdS" (figure 3).

Fig. 3 : L’espace anti-de Sitter \mathrm{AdS}^3 est l’intérieur d’une quadrique dans l’espace projectif \mathbb{P}^3(\mathbb{R}). On le voit ici avec un plan croche AdS, dans deux cartes affines différentes de \mathbb{P}^3(\mathbb{R}).

Références :

[CG] S. Choi et W. M. Goldman, Topological tameness of Margulis spacetimes, prépublication (2013).

[DGK1] J. Danciger, F. Guéritaud et F. Kassel, Geometry and topology of Lorentz spacetimes of constant curvature, prépublication (2013), à paraître aux Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure.

[DGK2] J. Danciger, F. Guéritaud et F. Kassel, Margulis spacetimes via the arc complex, prépublication (2014).

Contact : Fanny Kassel | Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 | fanny.kassel math.univ-lille1.f