Accueil du site > Actualité de la recherche > Actualités scientifiques




Recherchez sur ce site


À propos du prix Herbrand de Cyril Houdayer

21 janvier 2016

Cyril Houdayer, professeur à l’université Paris-Sud Orsay et membre du laboratoire de mathématiques d’Orsay, UMR 8628, est lauréat du prix Herbrand 2015. C’est l’occasion de revenir sur ses travaux et de le féliciter !

Les travaux de Cyril Houdayer concernent la théorie des algèbres de von Neumann et la théorie mesurée des actions de groupes.


Les groupes de Baumslag-Solitar BS(m,n) forment une famille de groupes à deux générateurs a et b et un relateur dépendant de deux paramètres entiers. Plus précisément, les indices m et n indiquent que les générateurs a et b vérifient la relation ba^nb^{-1} =a^m. Ces groupes jouent un rôle important en théorie géométrique des groupes où ils constituent une source importante d’exemples. Notons en effet que BS(1, 1) est le groupe commutatif libre et que BS(1,-1) est le groupe fondamental de la bouteille de Klein. En 2001, ces groupes ont été entièrement classifiés du point de vue de la théorie géométrique des groupes par K. Whyte. Une classification analogue est en chantier dans le cadre de la théorie mesurée des groupes, introduite par Gromov. Cette dernière théorie, qui se développe en parallèle de la première, vise à comprendre les groupes à travers leurs actions préservant la mesure sur les espaces boréliens standard. Dans l’article [2], C. Houdayer et S. Raum ont apporté une contribution fondamentale dans ce domaine en introduisant un nouvel invariant : la complétion profinie relative, qui leur a permis de montrer que les paramètres m et n sont des invariants d’équivalence orbitale lorsque tous les éléments a^k pour k \neq 0 agissent ergodiquement.


La théorie des algèbres de von Neumann a connu de grands bouleversements au cours des dernières années avec l’apparition de nouvelles théories développées par S. Popa (en rigidité) et par D. Voiculescu (en probabilités libres). Les sous-algèbres de Cartan (sous-algèbres abéliennes maximales avec une propriété de normalité) jouent un rôle crucial puisqu’elles permettent de relier cette théorie à celle des actions mesurées de groupes. Avec ses collaborateurs, C. Houdayer a réalisé de grands progrès dans ces domaines, particulièrement dans le domaine relativement en friche des algèbres de type III. Une algèbre de von Neumann est de type III lorsqu’elle ne possède aucune projection non nulle finie. Par exemple, dans [3], Cyril Houdayer résout par avec R. Boutonnet et S. Raum le problème de l’absence de Cartan dans tous les produits libres non banals, fournissant une preuve unifiée des travaux de leurs prédécesseurs (Voiculescu, Jung, Ozawa-Popa, Ioana), et apportant de nombreux nouveaux exemples de facteurs de type III sans Cartan, et mettant un point final au problème. Dans une série d’articles, dont [1, 5, 6], C. Houdayer pousse ensuite l’étude des facteurs d’Araki-Woods libres considérant par exemple leur cœur continu ou leurs ultra-produits. Dans une autre série d’articles, dont [4], ce sont les actions gaussiennes libres (analogue sur les algèbres de von Neumann des actions gaussiennes de la théorie ergodique) qui sont disséquées et étudiées du point de vue de la propriété Gamma, de leurs sous-algèbres de Cartan, ou de la propriété de solidité. Tous ces travaux sont des contributions fondamentales et profondes dans l’étude, la structure et la classification des algèbres de von Neumann.


Références :

[1] C. Houdayer, S. Raum : Asymptotic structure of free Araki-Woods factors. Math. Ann. 363 (2015), 237-267.

[2] C. Houdayer, S. Raum : Baumslag-Solitar groups, relative profinite completions and measure equivalence rigidity. J. Topol. 8 (2015), 295-313.

[3] C. Houdayer : Amalgamated free product type III factors with at most one Cartan subalgebra. (With R. Boutonnet and S. Raum) Compos. Math. 150 (2014), 143-174.

[4] C. Houdayer : Structure of II1 factors arising from free Bogoljubov actions of arbitrary groups. Adv. Math. 260 (2014), 414-457.

[5] C. Houdayer, É. Ricard : Approximation properties and absence of Cartan subalgebras in free Araki-Woods factors. Adv. Math. 228 (2011), 764-802.

[6] C. Houdayer : Structural results for free Araki-Woods factors and their continuous cores. J. Inst. Math. Jussieu 9 (2010), 741-767.


Contact : Cyril Houdayer | LMO | UMR 8628 |