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À propos de la médaille de bronze de Béatrice de Tilière

23 février 2017

Les travaux de Béatrice de Tilière se situent à la charnière entre théorie des probabilités, combinatoire et physique mathématique. Ils portent sur les modèles bidimensionnels sur réseaux issus de la mécanique statistique.

Béatrice de Tilière travaille sur des modèles tels que le modèle d’Ising ou celui des dimères. Ces modèles issus de la physique statistique cherchent à rendre compte du comportement de systèmes comportant un grand nombre d’atomes, ce qui ouvre la voie à l’utilisation de méthodes probabilistes.

Parmi les différents modèles de physique statistique, le modèle d’Ising est sans doute le plus célèbre. Il a été proposé par Wilhelm Lenz à son étudiant Ernst Ising, à qui il doit son nom, et qui l’introduisit en 1925 dans sa thèse sous sa version unidimensionnelle. Ce modèle au comportement très riche se révéla un excellent objet d’étude permettant de tester de nouvelles idées, c’est aussi l’un des modèles le plus simple présentant une transition de phase. Le modèle de dimères modélise des polymères ayant la caractéristique de ne présenter qu’une unique liaison (les dimères), mis en solution. Ce modèle rend compte de l’adsorption de molécules diatomiques à la surface d’un cristal en solution. Il s’agit là de thématiques anciennes et profondes, qui ont connu ces deux dernières décennies un renouveau remarquable dans la communauté mathématique, grâce notamment aux résultats particulièrement spectaculaires de Richard Kenyon et de Stanislav Smirnov, tous deux ayant reçu des prix internationaux importants pour leurs contributions (prix Loève pour Kenyon, médaille Fields de Smirnov en 2010).

Du côté des problèmes discrets, les progrès les plus intrigants sont dus à Béatrice de Tilière : ses résultats concernant le modèle d’Ising et les arbres couvrants mettent en évidence des connexions profondes entre ces objets. Elle a notamment établi un lien explicite entre le modèle de dimère associé au modèle d’Ising critique en dimension 2 sur un graphe isoradial infini et les forêts couvrantes enracinées cycliques (FCEC) [1]. Pour cela elle établit tout d’abord une relation entre les polynômes caractéristiques qui encodent les propriétés combinatoires de ces deux modèles puis, en donnant une construction explicite des FCECs, elle en déduit une relation vraie au niveau de leurs configurations. Dans une publication plus récente [2], elle obtient une relation explicite entre la fonction de partition du modèle d’Ising critique en dimension 2 sur un graphe isoradial fini et la fonction de partition d’arbres couvrants sur un graphe étendu le long du bord. La preuve s’appuie également sur une relation entre les configurations de ces deux modèles. Ces contributions importantes ouvrent la voie à une compréhension nouvelle de la façon dont le modèle d’Ising se rapporte aux modèles plus classiques de promenades aléatoires et d’arbres couvrants.



Béatrice de Tilière a obtenu plusieurs autres résultats importants sur le modèles d’Ising et les dimères en collaboration avec Cédric Boutillier. Ils ont par exemple obtenu dans [3] une expression de l’énergie libre d’un modèle de dimères périodique en bijection avec un modèle d’Ising Z-invariant critique en dimension 2, résultat généralisant celui de Kenyon, Okounkov et Sheffield. Plus récemment, dans un article de 2015 avec Cédric Boutillier et Kilian Raschel, Béatrice de Tilière a étudié une famille de Laplaciens massiques sur des graphes isoradiaux. Cette approche donne accès aux propriétés statistiques remarquables des modèles de forêts couvrantes aléatoires enracinées (article à paraître dans Inventiones mathematicae. On notera aussi l’article de revue [5] sur le sujet).


Références :

[1] B. de Tilière. From cycle rooted spanning forests to the critical Ising model : an explicit construction. Comm. Math. Phys. 319 (2013), no. 1, 69–110.
[2] B. de Tilière. Critical Ising model and spanning trees partition functions. Ann. Inst. H. Poincaré - Probab. et stat. 52 (2016), no 3, 1382–1405.
[3] C. Boutillier, B. de Tilière. The critical Z-invariant Ising model via dimers : the periodic case. Probab. Theory Related Fields 147 (2009), no. 3, 379–413.
[4] C. Boutillier, B. de Tilière, K. Raschel. The Z-invariant massive Laplacian on isoradial graphs. Invent. Math. (à paraître). ArXiv:1504.00792. 85 pages.
[5] Patrick Ferrari et Béatrice de Tilière, Dimer models and random tilings, Panoramas et Synthèses, SMF, 2015.