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La conjecture d’Igusa sur les sommes exponentielles pour les singularités non-rationnelles

24 novembre 2019

Les sommes finies de vecteurs dans le plan jouent beaucoup de rôles en mathématiques, par exemple pour le traitement du signal via la transformation de Fourier discrète, mais aussi dans de nombreux problèmes de théorie des nombres. Inspiré par les conjectures de Weil, Igusa formule dans les années 70 une série de conjectures dans un programme de recherche motivé par les principes locaux-globaux et les résultats de Birch qui généralisent le principe de Hasse. Ainsi Igusa met en avant en 1978 une conjecture sur les sommes exponentielles et démontre le cas homogène lisse. Le cas des singularités non rationnelles de cette conjecture vient d’être résolu par R. Cluckers, directeur de recherche au CNRS, M. Mustata, professeur à l’université de Michigan, et K. H. Nguyen, postdoctorant à l’université KULeuven. La bourse ERC Consolidator MOTMELSUM a partiellement financé cette collaboration et pris fin avec la résolution de la conjecture.

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Références

[1] B. J. Birch, Forms in many variables, Proc. Roy. Soc. Ser. A. Vol 265, 245–263 (1961/1962).

[2] T. D. Browning and D. R. Heath-Brown, Forms in many variables and differing degrees, J. Eur. Math. Soc. (JEMS). Vol 19, 357–394 (2017).

[3] A. Chambert-Loir, J. Nicaise, and J. Sebag, Motivic integration, Progress in Mathematics, Vol. 325, Birkhäuser/Springer, New York, (2018).

[4] R. Cluckers, The modulo p and p2 cases of the Igusa Conjecture on exponential sums and the motivic oscillation index, Int. Math. Res. Not. (IMRN) Vol. 2008, (2008).

[5] R. Cluckers, M. Mustaţă and K. H. Nguyen, Igusa’s conjecture for exponential sums : optimal estimates for non-rational singularities, Forum Math. Pi 7, 2019.

[6] R. Cluckers, W. Veys, Bounds for p-adic exponential sums and log-canonical thresholds, Amer. J. Math. 138 (1), 61–80 (2016).

[7] H. Davenport, Cubic forms in sixteen variables, Proc. Roy. Soc. Ser. A. 272, 285–303 (1963).

[8] J. Denef, Report on Igusa’s local zeta function, Séminaire Bourbaki 1990/91 Exp.no. 741, 359–386 (1991).

[9] J. I. Igusa, Complex powers and asymptotic expansions I, J. reine angew. Math. 268/269, 110-130 (1974) ; Ibid.II, 278/279, 307–321 (1975).

[10] J. I. Igusa, Lectures on forms of higher degree (notes by S. Raghavan), Tata Institute of Fundamental Research, Lectures on Math. and Phys. 59, Springer-Verlag, Heidelberg-New York-Berlin (1978).

[11] J. I. Igusa, A Poisson formula and exponential sums, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect.IAMath. Vol 23, 223–244 (1976).

[12] M. Mustata, Singularities of pairs via jet schemes, J. Amer. Math. Soc.15 (3), 599–615 (2002).

[13] M. Mustaţă and M. Popa, Hodge ideals for Q-divisors, V-filtration, and minimal exponent, arXiv : 1807.01935.

Contacts :

Raf Cluckers est directeur de recherche au CNRS et associate professor à KU Leuven.

Mircea Mustaţă est professeur de mathématiques à l’université de Michigan.

Huu Kien Nguyen est postdoctorant à KU Leuven.

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