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Le chaos gagne du terrain

3 février 2012

Les systèmes simples peuvent avoir des comportements complexes. Ce n’est pas la théorie du chaos qui dira le contraire. Elle nous enseigne par exemple qu’un système dynamique (un pendule secoué, le mouvement des planètes, les modèles d’évolution des populations prédateurs/proies, etc…) peut avoir un comportement imprévisible en pratique, même dans le cas idéal où il suit une loi précise et parfaitement invariable. Ceci est dû à ce que l’on appelle la sensibilité aux conditions initiales : les petites erreurs de mesures et les perturbations prennent rapidement des proportions rendant impossible la prévision à long ou à moyen terme. On sait même qu’il existe des systèmes dynamiques tels qu’une condition initiale choisie au hasard a une probabilité non nulle de donner lieu à un comportement chaotique. Dans un article à paraître dans Annals of Mathematics, Xavier Buff et Arnaud Chéritat (Institut de Mathématiques de Toulouse) exposent un nouveau cas dont l’évolution a des chances significatives d’être imprédictible. Le système dynamique qu’ils ont découvert appartient à une famille pour laquelle la question se posait depuis le début du 20e siècle.

Les systèmes dynamiques sont modélisés par des nombres, les variables, auxquels on applique de façon répétée une formule mathématique. Les mathématiciens s’intéressent à la présence ou à l’absence, à l’intensité et aux formes que prennent ce chaos, en fonction de la formule. Les formules les plus simples, celles que l’on nomme linéaires, ont un comportement régulier et prévisible. Mais dès que l’on passe à des formules à peine plus compliquées, cela devient extrêmement difficile. Un exemple typique de ces formules simples est donné par ce que l’on appelle les polynômes de degré 2 à variable complexe. La variable est dite complexe, mais en fait elle n’est composée que de deux nombres.

Les spécialistes en dynamique holomorphe s’intéressent aux systèmes à variables complexes. Parmi eux, les chercheurs toulousains X. Buff et A. Chéritat ont récemment répondu à une question qui date du début du 20e siècle. L’ensemble des variables où un système dynamique exhibe la sensibilité aux conditions initiales est nommé ensemble de Julia dans le cas des systèmes dynamiques holomorphes. Pendant longtemps on s’est demandé s’il était possible que l’ensemble de Julia d’un polynôme soit de mesure non nulle : autrement dit, qu’une condition initiale choisie au hasard ait une probabilité non nulle d’être dans la partie chaotique. La plupart du temps ce n’est pas le cas. Certains experts pensaient même que cela ne pouvait jamais arriver.

Sur une idée de leur directeur de thèse Adrien Douady, et en utilisant les travaux pointus sur la renormalisation dus à divers mathématiciens, dont les chercheurs japonais M. Shishikura et I. Inou et plusieurs médailles Fields, Buff et Chéritat sont parvenus à trouver des polynômes de degré 2 pour lesquels l’ensemble de Julia est de mesure positive.

Ils aimeraient maintenant savoir caractériser les polynômes pour lesquels cette mesure est non nulle, ce qui paraît plus difficile. Leurs travaux ferment également une des pistes vers d’autres problèmes ouverts importants, incitant par là même les experts à se concentrer sur les autres approches.

Référence : Xavier Buff et Arnaud Chéritat, Quadratic Julia Sets with Positive Area. À paraître dans Annals of mathematics

Contacts :

Xavier Buff - Institut de Mathématiques de Toulouse (CNRS/INSA Toulouse/Universités Toulouse 1, 2 et 3)

Arnaud Chéritat- Institut de Mathématiques de Toulouse (CNRS/INSA Toulouse/Universités Toulouse 1, 2 et 3) ensemble de Julia