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Sur la géométrie des ensembles fractals discrets

29 janvier 2013

Une catégorie importante d’ensembles fractals est celle des ensembles "autosimilaires", qui possèdent la propriété d’être identiques (à grossissement près) à leurs parties. L’exemple le plus connu est celui du flocon de Von Koch, qui est fait de quatre flocons de Von Koch plus petits, chacun d’eux étant donc lui aussi fait de quatre flocons encore plus petits, et ainsi de suite.

Les fractals les plus connus sont en général donnés par des courbes, mais la propriété d’autosimilarité peut aussi, en la reformulant un peu, concerner des ensembles discrets, c’est-à-dire, pour faire court, des ensembles faits de points isolés les uns des autres. Dans ce cas, le caractère fractal se manifeste "vers l’infini" et non en des points particuliers. De telle fractals apparaissent notamment en arithmétique. Un exemple classique est celui du "triangle de Pascal modulo 2", un autre est celui de l’ensemble des points à coordonnées entières (m, n) limité par les demi-droites d’équations y = √2x et y = -√2x.

Figure 2

Figure 2 : Légende : Début du triangle de Pascal modulo 2.
Chaque point bleu correspond à une valeur impaire du triangle de Pascal classique.


Figure 3
Figure 3 : Légende : Points compris entre les demi-droites y = √2x et y = -√2x.
La ligne brisée rouge est leur "voile d’Arnold".


Dans une publication récente, Driss Essouabri (université de Saint-Étienne) et Ben Lichtin (université de Rochester) posent les fondements d’une théorie nouvelle pour étudier la géométrie de ce genre d’ensembles. Sous certaines hypothèses, ils ont démontré des propriétés précises de la "fonction zêta fractale" associée à ces ensembles, qui permettent non seulement d’obtenir des renseignement sur leur géométrie (notamment leur "dimension fractale"), mais aussi de nombreuses propriétés jusque là inaccessibles. En particulier, les résultats d’Essouabri et Lichtin permettent d’étendre des résultats qui n’avaient pas été améliorés depuis les années trente sur les voiles d’Arnold (cf. figure) définis par des demi-droites dont les pentes ne sont pas quadratiques.

Références
D. Essouabri et B. Lichtin, “zeta functions of discrete self-similar sets”. Advances in Mathematics, 232 (2013), no. 1, 142-187.

Contacts
Driss Essouabri, université de Saint-Étienne, Institut Camille Jordan, UMR 5208.
Ben Lichtin, Université de Rochester (États-Unis).