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Construire des courbes sur une surface

11 mars 2013

La conjecture de Tate prédit l’existence de courbes sur certaines surfaces définies par des équations polynomiales. Un cas particulier de cette conjecture, ouvert depuis 1974, vient d’être résolu.

Étant donnée une surface, il est souvent possible de décrire quelles courbes il est possible de tracer dessus. En revanche, pour les surfaces décrites par des équations polynomiales, déterminer les courbes algébriques (c’est-à-dire elles aussi définies par des polynômes) que l’on peut dessiner dessus est beaucoup plus difficile. Choisissons un polynôme P à trois variables, de degré au moins 4 et à coefficients complexes. Les solutions de l’équation P(x, y, z) = 0 forment une surface S. Si le polynôme P a été choisi "au hasard", le théorème de Noether-Lefschetz garantit que, en général, les seules courbes algébriques qui peuvent être tracées sur S ont une définition somme toute prévisible : une telle courbe est toujours donnée par l’ensemble des points (x, y, z) qui sont simultanément solutions de l’équation P(x, y, z) = 0 (qui garantit que la courbe est sur S) et d’une autre équation algébrique quelconque, Q(x, y, z) = 0.

Pour certains choix particuliers de P, les choses sont plus compliquées. Prenons par exemple pour surface S la surface l’équation x4+yz+x+y = 0. Cette surface contient la droite d’équation x = y = 0, qui n’est pas de la forme précédente. La présence de courbes exceptionnelles de cette sorte pour certaines surfaces est un cas particulier de la célèbre conjecture de Hodge, démontré par Poincaré, Lefschetz et Kodaira-Spencer. Les choses sont beaucoup moins bien comprises dans le cas de surfaces définies dans des espaces plus abstraits où P est à coefficients dans un corps fini1. Dans les années 1960, John Tate a formulé une conjecture qui décrit la géométrie des courbes sur S en fonction de P. La conjecture générale est toujours ouverte, mais un cas considéré comme particulièrement important vient d’être démontré par François Charles (Institut de recherches mathématiques de Rennes, CNRS UMR 6625), celui où P est de degré exactement 4. Ce travail s’appuie sur une avancée remarquable due à Davesh Maulik (Columbia University) qui a montré comment des résultats de Borcherds liés aux formes modulaires permettaient de résoudre une partie importante du problème.

Références :
François Charles, The Tate conjecture for K3 surfaces, Inventiones Mathematicae (à paraître).

Contact :
François Charles, Institut de Recherche Mathématique de Rennes, UMR 6625 du CNRS/Université de Rennes 1