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Résonances et loi de Weyl

26 septembre 2013

On sait bien décrire les fréquences propres d’un phénomène ondulatoire qui se produit dans un milieu borné. En revanche, lorsque le milieu n’est pas borné, les choses sont plus difficiles. Une étude vient d’effectuer une avancée dans ce domaine.

Une membrane qui vibre, une onde qui se propage dans un milieu… tous ces phénomènes ont en commun de se décrire par des modes propres, c’est-à-dire des fonctions qui satisfont à une « équation aux valeurs propres ». Dans l’exemple d’un tambour, modélisé par une région R bornée du plan, les modes propres sont les fonctions f qui prennent la valeur 0 sur le bord de R et telles qu’il existe un nombre λ^{2} (une fréquence propre) pour lequel on a Δ(f ) = λ^{2}×f , où Δ(f ) est la somme des dérivées partielles secondes de f (Δ est l’opérateur de Laplace). Connaître les modes propres, c’est être capable de décrire complètement les vibrations du tambour. Cela suppose de connaître l’ensemble des fréquences propres, c’est-à-dire des valeurs λ^{2} pour lesquelles l’équation Δ(f ) = λ^{2}×f possède des solutionsf intéressantes (i.e. autre que la fonction nulle). Cet ensemble est le spectre.

Il y a un siècle, Courant et Hilbert ont montré que, dans le cas précédent, le spectre a la forme d’une suite de nombres réels qui tend vers l’infini. Un théorème de Weyl de 1911 a ensuite précisé que cette suite croît qualitativement comme la suite des carrés des entiers.

Lorsque le milieu de propagation d’une onde n’est plus borné comme avec un tambour, les choses ne fonctionnent plus de cette façon. Les fréquences propres doivent être remplacées par les résonances, qui forment cette fois une suite de nombres complexes, dont la partie réelle correspond à une fréquence propre et la partie imaginaire à un taux d’amortissement. L’étude de la répartition des résonances joue un rôle clé dans de nombreux problèmes, aussi bien en physique expérimentale qu’en théorie des nombres.

Les spécialistes pensent qu’une forme du théorème de Weyl est vraie pour les résonances, à condition de les compter dans une bande bien choisie du plan complexe. La croissance des résonances ressemblerait à celle de la suite des entiers élevés à une puissance fractionnaire, liée à la dimension fractale des trajectoires d’un certain système dynamique.

Dans une récente étude qui se place dans le cadre de la géométrie hyperbolique, Frédéric Naud vient d’exhiber des bandes explicites du plan complexe où la croissance des résonances est effectivement inférieure à celle de la loi de Weyl, confortant ainsi la conjecture et donnant donc des précisions pour savoir comment localiser certaines résonances.

Références
Frédéric Naud, « Density and location of resonances for convex co-compact hyperbolic surfaces », Inventiones Mathematicae (à paraître).

Contact
Frédéric Naud, Laboratoire de Mathématiques, Université d’Avignon, ÉA 2151 & Fédération de Recherche FRUMAM, FR 2291.