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La formation des cristaux : un problème mathématique difficile

11 février 2014

À l’échelle microscopique, la plupart des cristaux sont constitués d’atomes qui sont arrangés sur un réseau périodique, comme des noeuds sur un filet de pêche.

Cette structure géométrique particulière au niveau atomique induit souvent un comportement singulier à notre échelle. Par exemple, dans les cristaux de neige les atomes sont organisés sur un réseau hexagonal ce qui explique les belles figures à 6 branches qu’on peut trouver dans la nature.


Photo 1 et 2. L’arrangement périodique hexagonal des atomes explique la forme géométrique à 6 branches des cristaux de glace


De telles structures périodiques sont présentes partout autour de nous, et ne concernent pas seulement les atomes. On pense par exemple aux alvéoles d’abeilles à miel, aux orgues basaltiques ou aux cellules qui composent les yeux des insectes, qui possèdent tous la même structure hexagonale.


Photo 3, 4, 5 et 6. Universalité du réseau hexagonal dans la nature. De gauche à droite : un cristal de carbure de silicium (vu au microscope à effet tunnel), des cellules végétales de chloroplastes (vues au microscope optique), des alvéoles d’abeilles à miel, et des motifs de basalte en Irlande du Nord


Comment expliquer l’omniprésence dans la nature de certains arrangements périodiques particuliers, comme le réseau hexagonal ? La recherche sur ce sujet est très active en mathématiques. Les chercheurs cherchent à répondre à cette question en étudiant les propriétés géométriques de ces agencements.

En 1999, un chercheur américain, Thomas Hales, a réussi à démontrer un théorème qui nous renseigne mieux sur le réseau hexagonal plan. Imaginons que l’on désire couvrir le sol d’une pièce avec des carreaux tous identiques et de même taille. Quelle forme doivent-ils avoir pour qu’on utilise le moins de joint possible ? Dit autrement, quels sont les pavages du plan avec une tuile d’aire donnée et qui est de périmètre minimal ? Le théorème de Hales stipule que le réseau hexagonal est le meilleur possible, ce qui explique pourquoi les abeilles l’ont choisi, car c’est celui qui minimise la quantité de cire nécessaire à sa fabrication.

Le théorème de Hales répond à un problème mathématique difficile qui était resté sans preuve depuis de nombreuses années, mais que beaucoup avaient anticipé avant lui. Ce problème géométrique est mentionné dans un livre de Pappus au IVème siècle de notre ère. Le réseau en nid d’abeille est par ailleurs déjà abondamment utilisé dans l’industrie car il garantit une excellente solidité tout en minimisant la quantité de matériau utilisée, et donc le poids final.

Des questions similaires se posent dans l’espace à trois dimensions. Par exemple, le réseau cubique centré et le réseau hexagonal compact sont ceux qui permettent d’empiler des oranges en minimisant l’espace occupé, ce qui est un autre théorème difficile de Hales, démontré en 1998. D’ailleurs, si on cherche à placer côte à côte des disques dans un plan, le réseau hexagonal mentionné plus haut est encore la solution la plus compacte, comme le précise un théorème plus facile démontré par Axel Thue en 1890.

Les mathématiciens cherchent aussi à mieux comprendre la formation des cristaux et l’organisation spontanée de la matière à l’échelle microscopique. Les résultats de Hales donnent les propriétés géométriques de certains arrangements particuliers, mais ils n’expliquent pas vraiment pourquoi les atomes ont intérêt à se placer sur un tel réseau périodique.

En effet, la matière est extrêmement complexe, composée d’un très grand nombre de constituants. Le problème est de comprendre l’émergence d’un système organisé à partir des contraintes individuelles de chaque élément. On doit imaginer que chaque atome exerce des forces sur tous les autres. Il n’aime pas qu’un autre atome soit proche de lui, mais aime avoir des voisins à une distance raisonnable. Il a donc tendance à repousser ceux qui sont trop proches et à attirer ceux qui sont trop loin. Pourquoi les atomes finissent par se placer tous sur un réseau périodique pour former un cristal ? Cette question n’est pas encore bien comprise du point de vue mathématique.



Photo 7 et 8. A gauche : force typique qu’un atome exerce sur un autre, en fonction de la distance d entre eux. A droite : résultat d’une simulation numérique montrant comment 100 particules, qui interagissent avec la force précédente, se placent spontanément sur un réseau hexagonal afin de minimiser leur énergie (calcul effectué par A. Ben Haj Yedder, X. Blanc et C. Le Bris, École des Ponts Paris-Tech).


Après avoir étudié le problème sur un plan, deux chercheurs britanniques, Florian Theil et Lisa Flatley, ont obtenu en 2013 les premiers résultats en trois dimensions. Même si les hypothèses qu’ils ont utilisées sur les forces que les atomes exercent entre eux ne sont pas encore très réalistes, c’est un premier pas important. D’un autre côté, Étienne Sandier (Univ. Paris 12, UMR CNRS 8050) et Sylvia Serfaty (Univ. Paris 6, UMR CNRS 7598) ont récemment démontré que les petits tourbillons qui apparaissent dans les supraconducteurs soumis à un champ magnétique fort, se comportent comme des particules individuelles qui se placent une nouvelle fois sur un réseau hexagonal plan.

Le formalisme mathématique permet de décrire des systèmes très différents en apparence, mais dont le comportement est finalement similaire. Ainsi, la compréhension théorique de l’apparition de structures périodiques à partir du comportement individuel des atomes pourrait avoir un retentissement dans plusieurs domaines scientifiques.

Contact
Mathieu Lewin (CNRS & Université de Cergy-Pontoise)

Pour en savoir plus
Interview de Sylvia Serfaty, prix Henri Poincaré 2012
Le théorème du nid d’abeille de Thomas Hales sur wikipedia
Articles de recherche de Florian Theil et Lisa Flatley et aussi
Article de recherche d’Etienne Sandier et Sylvia Serfaty

Copyright
Photo 1 et 2
Photo 3, Photo 4, Photo 5 et Photo 6.
Photo 7 : Mathieu Lewin
Photo 8 : Ben Haj Yedder, Blanc et Le Bris

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