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Comptage fractal de résonances pour les billards chaotiques quantiques

16 mai 2014

La mécanique classique étudie l’évolution de points (et de leurs vitesses) suivant les lois de Newton. Un système particulièrement simple est celui d’une particule dans le plan ou l’espace, qui n’est soumise à aucune force et qui rebondit, sans frottement, sur un certain nombre d’obstacles.

Même pour un petit nombre d’obstacles (par exemple, 3 disques centrés sur les sommets d’un triangle), ce système apparemment simple peut donner lieu à des dynamiques compliquées et chaotiques. Ce système est « ouvert » : la plupart des particules arrivent de l’infini et y repartent après un nombre fini de rebonds. Cependant certaines trajectoires restent piégées, « captées », indéfiniment.

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Système à trois disques (image tirée de [2])

L’ensemble de ces trajectoires captées, appelé « ensemble capté », forme le « squelette » de la dynamique pour les temps longs. Pour le système à 2 disques cet ensemble consiste en une unique trajectoire périodique qui rebondit indéfiniment entre les 2 disques. Pour le système à 3 disques, cet ensemble est compliqué : c’est un ensemble fractal, qui contient une infinité dénombrable de trajectoires périodiques ; de plus, toutes les trajectoires sont instables : la dynamique sur cet ensemble est donc chaotique. La géométrie de cet ensemble fractal (en particulier sa dimension) est reliée à la complexité et à l’instabilité de la dynamique.

Si on remplace les particules par des ondes, la dynamique n’est plus régie par les équations de Newton, mais soit par l’équation des ondes, soit par l’équation de Schrödinger lorsqu’il s’agit de décrire des particules quantiques. La linéarité de ces équations permet de décomposer la dynamique des ondes sur des « modes propres » de vibration. Chaque mode propre est associé à un nombre complexe, appelé résonance, dont la partie réelle correspond à sa fréquence de vibration, tandis que la partie imaginaire représente son taux de décroissance. En général, le système admet un nombre infini de résonances, de fréquences de plus en plus élevées.

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Représentation de l’ensemble capté pour le système à 3 disques (image tirée de [2])

Bien qu’une telle description ondulatoire paraisse très différente de celle d’une particule ponctuelle, on peut relier les deux types de dynamiques dans la limite de haute fréquence. La théorie du « chaos quantique » s’intéresse spécifiquement aux propriétés de tels systèmes ondulatoires, lorsque la dynamique classique est chaotique. À quel niveau établir le lien entre les cadres classique et ondulatoire ? Par exemple, dans le comptage des résonances du système ondulatoire. On a ainsi pu montrer que la densité de résonances proches de l’axe réel, dans la limite de haute fréquence, se comporte au plus comme une loi de puissance en la fréquence, dont l’exposant dépend simplement de la dimension (fractionnaire) de l’ensemble capté. Intuitivement, plus l’ensemble capté est « fin », i.e. plus petite est sa dimension, moins il pourra « porter » de modes résonnants de haute fréquence.



Bibliographie
[1] S. Nonnenmacher, J. Sjöstrand, M. Zworski, Fractal Weyl law for open quantum chaotic maps, Annals of Mathematics 179 (2014) 179-251
[2] L. Poon, J. Campos, E. Ott, and C. Grebogi, Wada basin boundaries in chaotic scattering, Int. J. Bifurcation and Chaos 6 (1996), 251–266

Contact CEA
Stéphane Nonnenmacher | 01 69 08 74 74 | snonnenmacher cea.fr
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