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Désordre dans les cristaux et localisation d’Anderson

4 juillet 2014

Dans un cristal idéal, composé d’atomes rangés sur un réseau périodique, un électron peut se déplacer sans rencontrer d’obstacle : si le cristal a une énergie qui prend certaines valeurs au-dessus d’une énergie minimale, il se comporte alors comme un conducteur électrique. Ces énergies correspondent à ce que l’on appelle le spectre du cristal et prennent leurs valeurs dans des intervalles donnés, un peu comme les raies du spectre de l’atome d’hydrogène, l’épaisseur en plus.

Toutefois, dans la nature, les cristaux idéaux n’existent pas, ils contiennent toujours des défauts. Ces défauts ou impuretés, peuvent être de différentes natures. Par exemple, on peut observer la présence d’atomes ionisés dans le réseau constituant le cristal ou, dans le cas où le cristal n’est pas constitué d’atomes tous identiques mais est issu d’un alliage entre plusieurs matériaux, il se peut que le réseau ne soit plus parfaitement périodique, mais qu’il y ait par-ci par-là un atome qui ne se trouve pas à la bonne place. Enfin, certains atomes sont parfois légèrement déplacés par rapport à leur position idéale sur le réseau périodique. Dans tous ces cas, les propriétés physiques du cristal sont modifiées.

Cristal issu d'un alliage

Photo 2 : Cristal issu d’un alliage

Comment peut-on alors modéliser ces impuretés dans un cristal et leur impact sur le transport électronique ? Le premier à avoir proposé un modèle expliquant les effets du désordre sur le comportement quantique des électrons dans un cristal imparfait est le physicien américain Philip Warren Anderson dans un article fondateur de 1958. En introduisant des termes aléatoires dans l’équation de Schrödinger (équation qui régit le comportement quantique des électrons dans le cristal), deux nouveaux phénomènes furent mis en évidence : la localisation d’Anderson et la transition d’Anderson pour les cristaux tridimensionnels. Ces découvertes lui vaudront en 1977 le prix Nobel de physique, conjointement à Nevill Mott et John van Vleck.

Le phénomène de localisation d’Anderson peut s’énoncer ainsi : à une énergie du spectre fixée, au-delà d’une certaine quantité de désordre dans le cristal, l’électron va cesser de s’y déplacer librement et va rester confiné dans une région localisée. Le cristal cesse d’être un conducteur pour devenir un isolant. Pour expliquer ce phénomène, il faut se rappeler qu’en mécanique quantique, un électron peut tout aussi bien être vu comme une particule dotée d’une masse que comme une onde : c’est la dualité onde-corpuscule découverte par Louis De Broglie en 1924. Alors, à chaque collision de l’électron avec une impureté du cristal, son onde associée se disperse.

Propagation d'un électron dans un cristal désordonné

Photo 3 : Propagation d’un électron dans un cristal désordonné


Libre parcours moyen et longueur d'onde
Photo 4 : Libre parcours moyen et longueur d’onde

On appelle « libre parcours moyen » la distance moyenne parcourue par l’électron entre deux collisions. On pourrait s’attendre à ce que lorsque le désordre augmente, le libre parcours moyen diminue continûment. Mais ce n’est pas qui se produit. Après une certaine quantité critique d’impuretés, la diffusion de l’électron s’arrête d’un coup. Ce brusque arrêt a lieu lorsque le libre parcours moyen devient plus court que la longueur d’onde de l’électron : si l’onde est dispersée avant même une première période, on ne peut plus vraiment la considérer comme une onde…
Le phénomène de localisation dépasse le cadre de la mécanique quantique. On peut l’observer dans d’autres situations où une onde se propage dans un milieu désordonné. Cela peut être le cas d’une onde lumineuse, de micro-ondes ou d’ondes acoustiques.

Du point de vu mathématique, la localisation d’Anderson est à présent un phénomène relativement bien compris. Les premières preuves mathématiquement rigoureuses remontent aux années 70 avec les travaux de Goldsheid, Molchanov et Pastur, puis ceux de Kunz et Souillard. Ces premiers résultats rigoureux portaient tous sur des modèles de cristaux unidimensionnels. A partir de là, l’étude des opérateurs aléatoires est devenu un domaine de recherche très actif. Dès 1983, Fröhlich et Spencer, en introduisant l’analyse multi-échelles, parvinrent à obtenir une première preuve de la localisation d’Anderson pour des cristaux de dimension arbitraire, lorsque ceux-ci ont une énergie proche de leur énergie minimale. Cette technique mathématique sera ensuite très utilisée pour obtenir différents résultats liés au modèle d’Anderson et à d’autres modèles de la physique de la matière condensée. En 2001, Damanik, Sims et Stolz ont prouvé que la localisation d’Anderson avait lieu à toutes les énergies du spectre pour un cristal unidimensionnel faiblement désordonné régit par le modèle d’Anderson, achevant ainsi l’étude en dimension 1 de ce modèle. Il reste aujourd’hui à démontrer une conjecture importante et très difficile qui affirme que la localisation d’Anderson a aussi lieu à toutes les énergies pour un cristal bidimensionnel désordonné. En dimension 2 et supérieure, nous savons uniquement que la localisation d’Anderson se manifeste pour les énergies proches de l’énergie minimale, nous ne savons rien pour les autres énergies. Cette conjecture occupe aujourd’hui de nombreux mathématiciens.

Le deuxième phénomène découvert après l’introduction du modèle d’Anderson est l’existence d’une transition entre un état d’isolant et un état de conducteur pour un cristal tridimensionnel à une certaine énergie critique et ce, quelle que soit la quantité d’impuretés dans le cristal. Pour les cristaux unidimensionnels et bidimensionnels, cette transition n’existe pas : à toute énergie, le phénomène de localisation d’Anderson apparaît pour un désordre suffisant. Précisons que cela est bien démontré en dimension 1 mais que cela reste une conjecture (très crédible) en dimension 2.
Les recherches mathématiques sur la preuve de cette transition d’Anderson sont très actives, mais n’ont à ce jour pas encore aboutit à des résultats rigoureux pour le modèle d’Anderson. Des premiers résultats de Germinet, Klein et Schencker ou d’Aizenmann et Warzel ont mis en évidence cette transition pour d’autres modèles aléatoires, mais les techniques employées ne semblent pas encore suffisantes pour obtenir une preuve rigoureuse de l’existence de la transition d’Anderson en dimension supérieure à 3.

Un réseau périodique d'atomes en dimension 3.

Photo 1 : Un réseau périodique d’atomes en dimension 3

Il convient de préciser ici que le modèle mathématique d’Anderson ne tient pas compte des interactions entre les électrons qui se déplacent dans le cristal et ceux associés aux atomes qui constituent le réseau. A priori, les électrons qui y circulent interagissent avec les électrons du cristal et ces derniers sont eux-mêmes modifiés par la présence des premiers. La prise en compte de ces interactions pourrait conduire à des résultats très différents de ceux cités plus haut, comme par exemple l’apparition de la transition isolant-conducteur en dimension 1 et 2 et pas uniquement en dimension supérieure à 3.

Mieux comprendre la transition d’Anderson pourrait avoir de nombreuses applications pratiques. Cela permettrait par exemple de connaître avec précision le comportement isolant ou conducteur d’une batterie de téléphone ou d’ordinateur dans un climat non tempéré. A basse température, la batterie cesse de fonctionner car elle se comporte comme un isolant. Si l’on parvenait à caractériser l’énergie à laquelle se produit la transition en fonction de la nature du cristal, on pourrait imaginer concevoir des batteries qui fonctionneraient sur des plages de températures plus large qu’actuellement. On peut aussi prévoir que d’autres applications aux cellules photovoltaïques des panneaux solaires ou aux semi-conducteurs en informatique seront trouvées.

Il est donc important que les mathématiciens continuent d’explorer les propriétés de ces modèles de cristaux désordonnés, afin que leurs résultats théoriques puissent affiner les connaissances des physiciens et des ingénieurs utilisant ces modèles.

Contact :
Hakim Boumaza (Université Paris 13, LAGA).
Copyright :
Photo 1 : http://volcanogeol.com/hawaii/minerau.htm
Photo 2 http://www-lemm.univ-lille1.fr/physique/ondes_enligne/chapitre6/ch6_1.htm
Photos 3 et 4 : Schémas de David Louapre (http://sciencetonnante.wordpress.com/2012/10/01/la-localisation-danderson/