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Représentations de groupes finis : de 0 à p

2 septembre 2020

La théorie des représentations est un outil des mathématiques destiné à appréhender les symétries des structures algébriques de toutes sortes, souvent mystérieuses, à l’aide de l’algèbre linéaire, en général mieux comprise. Apparaissant dans de nombreuses branches des mathématiques, cette théorie a des applications en physique ou en chimie. Elle permet, par exemple, de comprendre la géométrie des molécules ou l’élasticité de matériaux. Dans un travail à paraître à Annals of Mathematics, Olivier Brunat, Olivier Dudas et Jay Taylor réussissent à faire une percée majeure, résolvant une conjecture énoncée voilà une trentaine d’années.

Les représentations linéaires des groupes finis ont tendance à se "décomposer" lorsque l’on passe d’un corps de caractéristique zéro à un corps de caractéristique positive p. La matrice de décomposition encode ce phénomène pour les représentations irréductibles. Dans le cas des groupes GLn(q), SOn(q) ou plus généralement des groupes réductifs sur un corps fini, cette matrice a une forme triangulaire. En d’autres termes, le passage de la caractéristique 0 à la caractéristique p se fait sous la forme d’un système échelonné.

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Figure 1. Matrice de p-décomposition des représentations unipotentes du groupe spécial unitaire SU5(q) lorsque p divise q + 1 et p>5.

Références :

[1] M. Broué, Isométries parfaites, types de blocs, catégories dérivées, Astérisque 181–182 (1990), 61–92.

[2] O. Brunat, O. Dudas, J. Taylor, Unitriangular shape of decomposition matrices of uni-potent blocks. À paraître dans Ann. of Math. (2020).

[3] J. Chuang, R. Rouquier, Perverse equivalences. Preprint, 2017.

[4] M. Geck, G. Hiss, Basic sets of Brauer characters of finite groups of Lie type. J. reine angew. Math. 418 (1991), 173–188.

Contacts :

  • Olivier Brunat est maître de conférences à Université de Paris, membre de l’Institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche (IMJ-PRG - CNRS, Sorbonne Université & Université de Paris) ;
  • Olivier Dudas est chargé de recherche au CNRS, membre de l’Institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche (IMJ-PRG - CNRS, Sorbonne Université & Université de Paris) ;
  • Jay Taylor est Assistant Professor à l’USC, University of Southern California.