Mathématiques et informatique : une évolution main dans la main

« L’évolution de l’informatique change la face des mathématiques », reconnaît Emmanuel Royer, directeur adjoint scientifique de l’Institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions du CNRS (Insmi). L’histoire des mathématiques, des plus fondamentales aux plus numériques, est ainsi animée d’un « mouvement pendulaire entre le développement théorique et l’expérimentation numérique », cette dernière dépendant fortement des capacités de calcul à la disposition des scientifiques.

« L’informatique a longtemps été considérée comme une branche des mathématiques », rappelle  Christian Peskine, professeur émérite à l’Institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive GaucheCNRS/Sorbonne Université/Université de Paris., la distinction entre les deux disciplines de recherche se faisant progressivement dans les années 60 et 70 partout dans le monde. C’est d’ailleurs au sein du département Sciences Physiques et Mathématiques, dont la partie mathématique deviendra l’Insmi, qu’est né, créé par Joël Marchand et soutenu par Christian Peskine, le premier réseau thématique d’informaticiens et informaticiennes du CNRS, MathriceÀ l’origine pour « Math, réseau d’information, de communication et d’échange ».. Il s’agissait là d’informatique de support, au service de la communauté mathématique. Avec un an de retard à cause de la crise sanitaire du Covid-19, ce réseau de métier a fêté ses 20 ans le 19 octobre dernier.

Des services numériques pour la communauté mathématique

Mathrice avait d’abord été créé comme un « lieu propice au développement professionnel des ingénieurs informatiques », au moment où l’informatique de service se déployait dans les laboratoires, explique Christian Peskine. Permettant la construction de pratiques communes, il a évolué en même temps que le rôle et le poids des moyens informatiques dans les laboratoires (voir encadré). En retour, la présence du réseau pousse les équipes support à automatiser les tâches d’administration système ou à développer et adapter des outils utiles aux mathématiciens. Le développement logiciel et la programmation deviennent peu à peu de nouvelles compétences indispensables. Mathrice et son portail mathématique se développent alors en un « service pour et par la communauté », chacun ayant accès aux mêmes outils quelles que soient ses tutelles ou sa sous-discipline, et chacun pouvant participer sur la base du volontariat.

« La communauté mathématique a une façon bien à elle de fonctionner. », assure Christian Peskine. Un comportement communautaire fort : « tous les mathématiciens et mathématiciennes identifient de la même manière les bonnes mathématiques, qu’elles soient théoriques ou appliquées ». C’est cette unité qui se retrouve dans le développement des services numériques gérés par Mathrice. « Étant en contact avec des chercheurs et chercheuses d’autres disciplines, j’ai eu diverses occasions de constater qu’on nous enviait cet esprit communautaire et cet investissement collectif qui coûte à chaque membre pour rendre au centuple à la communauté entière. », témoigne la mathématicienne Amandine Véber, coordinatrice de la plateforme ModCov19 qui a permis la coordination des actions de modélisation en France autour de la crise sanitaire.

L’évolution de Mathrice s’est aussi faite car certains informaticiens des laboratoires rattachés à l’Insmi se consacraient au calcul scientifique, se rapprochant de fait plus de la recherche que du support. La disponibilité de moyens de calcul plus importants joue ainsi un rôle dans l’évolution de concert des deux disciplines de recherche et des deux métiers.

« Avant l’informatique, tous ces calculs étaient faits à la main »

Branche des mathématiques qui nécessite beaucoup de calculs, les équations aux dérivées partielles le montrent bien. Elles apparaissent par exemple en mécanique des fluides, électromagnétisme ou mécanique quantique. Directeur de l’Institut de recherche mathématique avancéeCNRS/Université de Strasbourg., laboratoire spécialisé à Strasbourg, Philippe Helluy s’intéresse aux traductions successives nécessaires pour, en définitive, utiliser de manière optimisée des algorithmes sur ordinateur pour simuler des modèles, écrits sous forme mathématique, de problèmes physiques ou d’ingénierie. « Chaque étape est complexe et demande des compétences poussées qui méritent une spécialisation, mais j’aime observer le problème en entier », avoue l’enseignant-chercheur.

Avant l’informatique, « tous ces calculs étaient faits à la main », de manière laborieuse et lente, ou bien impossibles à résoudre avec précision. Le calcul séquentiel sur ordinateurs est ensuite apparu, ces derniers étant par la suite dotés de multicœurs puis de cartes graphiques (GPU) permettant aux supercalculateurs de paralléliser les opérations, c’est-à-dire les effectuer de manière simultanée, pour accélérer les calculs. « En quelques années, nous avons vu une amélioration spectaculaire de l’informatique que nous utilisons », résume Philippe Helluy.

Cela a eu des répercussions sur toutes les étapes de son travail. Les mathématiciens ont ressorti des placards des algorithmes aujourd’hui très efficaces sur supercalculateurs qui étaient inutilisables sur un ordinateur non parallélisé. « Avant la parallélisation, les étapes de traduction ne tenaient pas compte du matériel informatique utilisé, mais c’est aujourd’hui indispensable », ajoute le mathématicien.

Des mathématiciens plus à l’aise avec l’informatique

Ingénieur de recherche à l’Institut mathématique de BordeauxCNRS/Bordeaux INP/Université de Bordeaux. et médaille de cristal du CNRS en 2020, Bill Allombert peut en témoigner, lui qui développe depuis plus de vingt ans le logiciel de calcul formel Pari/GP, un outil de référence dans le domaine qui compte aujourd’hui environ 25 000 utilisateurs, dont de nombreux chercheurs et chercheuses étrangers. « Des algorithmes tout à fait théoriques auparavant sont devenus faciles à mettre en œuvre sur les dernières machines et se démocratisent », atteste l’ingénieur. Les limitations de rapidité de calcul et surtout de mémoire disponible dans les ordinateurs s’amenuisent et utiliser des outils numériques est aussi devenu plus intuitif. Les étudiants en mathématiques sont plus à l’aise avec l’informatique, ont souvent codé quelques lignes dans leurs études et connaissent les pratiques de travail qui y sont liées, comme les logiciels libres ou le contrôle des versions de logiciels. Certains deviennent même contributeurs pour Pari/GP qui évolue en fonction des besoins des mathématiciens. Ceux-ci peuvent donc mettre à profit les capacités grandissantes des ordinateurs pour dynamiser la recherche en arithmétique.

Ces progrès de l’informatique ont permis de résoudre plus précisément des problèmes déjà étudiés, voire de s’attaquer à des problèmes insolubles auparavant. Il s’agit par exemple de vérifier des conjectures mathématiques sur les entiers, de casser des clés de chiffrement en cryptographie, ou encore d’effectuer une simulation complète et précise d’écoulements turbulents, que l’on retrouve notamment sur le toit d’une voiture, dans une rivière ou lors de phénomènes météo.

« L’informatique vient aussi en support des développements théoriques via l’émergence d’outils de vérification formelle de preuves qui permettent de vérifier informatiquement que les démonstrations sont justes », rappelle également Emmanuel Royer. Il mentionne par exemple un travail récent de trois mathématiciens, dont l’enseignant-chercheur Patrick Massot du Laboratoire de mathématiques d'OrsayCNRS/Université Paris-Saclay., qui ont « expliqué », grâce au logiciel de preuve Lean, la très abstraite notion d’espace perfectoïde introduite en 2012 par l’allemand Peter Scholze – ce qui lui valut la médaille Fields en 2018. Ce logiciel, en cours de développement par une communauté internationale de mathématiciens et mathématiciennes, vérifie informatiquement chaque étape de preuve.

L’IA pour les maths et les maths pour l’IA

Le dernier développement informatique : l’intelligence artificielle (IA). La traduction des phénomènes physiques en modèles mathématiques, ie l’étape de modélisation, en profite désormais, selon Philippe Helluy. Dans un premier temps, des calculs parallélisés avec une modélisation complexe à l’échelle microscopique fournissent des résultats complets et précis d’un phénomène à l’échelle macroscopique. Cela demande beaucoup de calculs et de temps mais ces résultats sont ensuite utilisés pour entraîner un réseau de neurones capable de reproduire ces comportements macroscopiques directement, sans passer par la modélisation microscopique. Tout ceci permet donc d’accélérer les calculs en restant rigoureux, et parfois même de se passer de supercalculateurs, une fois l’IA entraînée. Ce couplage entre méthodes traditionnelles et IA modifie donc à nouveau le travail des modélisateurs.

Dans une équipe interdisciplinaire au Laboratoire Jean-Alexandre DieudonnéCNRS/Université Côte d’Azur., la directrice de recherche Patricia Reynaud-Bouret va plus loin : elle s’applique à utiliser les mathématiques et l’IA pour reproduire des phénomènes biologiques… afin de mieux les comprendre pour, notamment, améliorer l’IA. Par exemple, son équipe cherche à simuler des réseaux de neurones de plus en plus complexes et larges, aussi proches que possible de la taille du cerveau (animal voire humain) et de ses capacités. Entre puissance de calcul importante, efficacité énergétique, phénomènes aléatoires et interactions fines et multiples, les défis sont nombreux. Simuler le résultat des interactions d’un nombre important de neurones sur un temps long : impossible ? « Les mathématiques nous indiquent comment bien choisir au hasard un neurone représentatif, plutôt que d’en interroger de nombreux. », explique la chercheuse, lauréate de la médaille d’argent 2021 du CNRS.

La mathématicienne travaille main dans la main avec l'informaticien Alexandre MuzyLaboratoire d'informatique, signaux et systèmes de Sophia Antipolis (I3S, CNRS/Université Côte d’Azur). et la neurobiologiste Ingrid BethusInstitut de pharmacologie moléculaire et cellulaire (IPMC, CNRS/Université Côte d’Azur). pour élaborer un modèle d’IA capable de s’approcher de la manière de penser et d’apprendre d’un animal voire d’un humain. Ces expériences associant mathématiques poussées et d’autres domaines comme la biologie et la psychologie sont « impossibles sans astuce mathématique mais aussi sans puissance de calcul » : elles seront au cœur d’Explain, une nouvelle équipe interinstitut au CNRS dirigée par Alexandre Muzy. « Quand j’ai commencé à aborder ces sujets, je me suis rendu compte que les informaticiens et mathématiciens se posent des questions similaires et complémentaires. Il faut apprendre à combiner leurs différentes expertises pour mieux avancer », soutient Patricia Reynaud-Bouret.

La nouveauté très attendue du monde scientifique reste les ordinateurs quantiques. Si le matériel testé aujourd'hui reste « extrêmement coûteux » et les applications actuelles « limitées au domaine de l'optimisation » en mathématiques, loin des performances promises par le concept, selon Bill Allombert, cela n’empêche pas les mathématiciens de réfléchir déjà à la suite. Pari/GP est ainsi utilisé par quelques équipes pour valider leur approche, sur du matériel classique, lors de compétitions de cryptographie post-quantique – qui s’efforcent de créer des protocoles résistants à l’ordinateur quantique idéal – organisées par le National Institute of Standards and Technology américain. « Même si les deux disciplines ont divergé aujourd’hui, elles ont tout à gagner à travailler ensemble ! », conclut Christian Peskine.